Disuguaglianze e limiti
Dimostrare che [tex]1 + cosx \leq \dfrac{1}{2} (x - \pi )^{2}[/tex] per [tex]\forall x: 0 \leq x \leq \pi[/tex]
Questa disuguaglianza può essere scritta come [tex]\dfrac{1 + cosx}{(x - \pi )^{2}} \leq \dfrac{1}{2}[/tex]
Facendo i limiti per x che tende a zero e per x che tende a [tex]\pi[/tex], si ha:
[tex]\lim _{x \rightarrow \pi} \dfrac{1 + cosx}{(x - \pi )^{2}} = \lim _{x \rightarrow \pi} \dfrac{1 - cos(x - \pi)}{(x - \pi )^{2}} = \dfrac{1}{2}[/tex]
Lo stesso valore si ha per x che tende a zero.
Questo basta a dimostrare l'uguaglianza??
Grazie!
Questa disuguaglianza può essere scritta come [tex]\dfrac{1 + cosx}{(x - \pi )^{2}} \leq \dfrac{1}{2}[/tex]
Facendo i limiti per x che tende a zero e per x che tende a [tex]\pi[/tex], si ha:
[tex]\lim _{x \rightarrow \pi} \dfrac{1 + cosx}{(x - \pi )^{2}} = \lim _{x \rightarrow \pi} \dfrac{1 - cos(x - \pi)}{(x - \pi )^{2}} = \dfrac{1}{2}[/tex]
Lo stesso valore si ha per x che tende a zero.
Questo basta a dimostrare l'uguaglianza??
Grazie!
Risposte
No. Potrebbero esserci dei punti interni nell'intervallo $[0,pi]$ in cui la disuguaglianza non vale.
Provo a rispondere.
Bisogna dimostrare che $ f(x) = 1 + cos x - 1/2(x - \pi)^2 <= 0 $ .
1) Calcolo il segno di f'(x), che indica l'andamento di f(x).
$ f'(x) = - sen x - x + \pi $
Ragiono come segue: $f'(x)$ raggiunge il suo valore minimo quando $ sen x + x = g(x) $ raggiunge il massimo. Calcolo quindi il valore massimo di $g(x) $.
$g'(x) = cos x + 1 >= 0$. Quindi g(x) è non decrescente e avrà valore massimo nell'estremo destro dell'intervallo, cioè in $x = \pi$. In questo punto abbiamo detto che, invece, $f'(x)$ ha valore minimo, che è $f'(\pi) = 0$. Quindi, per tutti gli altri x, f'(x) > 0.
Ciò significa che f(x) è crescente.
Poiché $f(\pi)$ = 0, f(x) < 0 per tutti gli altri x.
PS I limiti, invece, non li avrei calcolati, perché non credo siano legati all'andamento della funzione (chiedo conferma...)
Bisogna dimostrare che $ f(x) = 1 + cos x - 1/2(x - \pi)^2 <= 0 $ .
1) Calcolo il segno di f'(x), che indica l'andamento di f(x).
$ f'(x) = - sen x - x + \pi $
Ragiono come segue: $f'(x)$ raggiunge il suo valore minimo quando $ sen x + x = g(x) $ raggiunge il massimo. Calcolo quindi il valore massimo di $g(x) $.
$g'(x) = cos x + 1 >= 0$. Quindi g(x) è non decrescente e avrà valore massimo nell'estremo destro dell'intervallo, cioè in $x = \pi$. In questo punto abbiamo detto che, invece, $f'(x)$ ha valore minimo, che è $f'(\pi) = 0$. Quindi, per tutti gli altri x, f'(x) > 0.
Ciò significa che f(x) è crescente.
Poiché $f(\pi)$ = 0, f(x) < 0 per tutti gli altri x.
PS I limiti, invece, non li avrei calcolati, perché non credo siano legati all'andamento della funzione (chiedo conferma...)
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