Disuguaglianze con funzioni in due variabili

[Monymate]

Ho due funzioni
$b:[0,T]\times\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$
$\sigma:[0,T]\times\mathbb{R}^d\toM_{d,l}$ dove $M_{d,l}$ è lo spazio delle matrici con $d$ righe e $l$ colonne tali che esiste $ C>0$ t.c. $\forall (t,x,y)$ si ha che
(1) $|b(t,x)-b(t,y)|+|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\leqC|x-y|$

La mia domanda è : la condizione (1) mi permette di dire che:
a) $|b(t,x)|\leqC_1(1+|x|)$
b) $|\sigma(t,x)|\leqC_1(1+|x|)$ dove $C_1$ è una costante positiva qualsiasi?

Perché dalla condizione (1) che ho scritto sopra il libro applica un teorema che ha varie ipotesi tra cui anche a) e b).


Grazie

[Quinzio]

Sono lineari $b$ e $\sigma $ ?

[Rigel1]

Dovrai ragionevolmente richiedere che \(t\mapsto b(t,0)\) e \(t\mapsto \sigma(t,0)\) siano funzioni limitate; in tal caso vedi subito che (a) e (b) discendono da (1) (basta scegliere \(y=0\) e usare la disug. triangolare).

[Monymate]

Ciao, ringrazio entrambi della risposta.
Scusate ho dimenticato di scrivere un'ipotesi che a quanto pare è fondamentale: le funzioni $b$ e $\sigma$ sono funzioni continue quindi anche le funzioni
$t\tob(t,0)$
$t\to\sigma(t,0)$
sono funzioni continue e di conseguenza nel compatto [0,T] sono limitate e quindi posso applicare il ragionamento di Rigel che dovrebbe essere così:
$|b(t,x)|\leq|b(t,x)-b(t,0)|+|b(t,0)|+|\sigma(t,x)-\sigma(t,0)|\leqC|x|+M$
e questo lo posso sempre maggiorare con $C_1(|x|+1)$.