Disuguaglianze
Mi aiutate a risolvere la seguente disuguaglianza per favore.
Dimostrare che per ogni x ed y maggiori di 1 e minori di e al quadrato
risulta:
|xlog(x) - ylog(y)| <= 3|x-y|
Grazie
Daniele Z.
Dimostrare che per ogni x ed y maggiori di 1 e minori di e al quadrato
risulta:
|xlog(x) - ylog(y)| <= 3|x-y|
Grazie
Daniele Z.
Risposte
Io la dimostrerei grazie al teorema di Lagrange (o del valor medio). La funzione é f(t)= t*log(t), presa in considerazione sull'intervallo chiuso (1, e^2).
Vale che per ogni x e y appartenenti a tale intervallo:
|f(x)-f(y)|=|f(k)|*|x-y|, dove k é un punto di (1, e^2)
(Teo di Lagrange). k dipende dagli x e y scelti.
Se però cerco il valore massimo che |f'(k)| può assumere su (1, e^2), chiamiamolo M, posso dire che
|f(x)-f(y)|<= M *|x-y|, di sicuro, qualsiasi siano x e y in (1, e^2).
Ora, si vede facilmente che, essendo la funzione f' crescente (strettamente), assume massimo quando inserisco il valore di t "più grande che posso", cioé t=e^2.
Facciamo i conti: f'(e^2)= log(e^2)+1 =3
Ciao
Ahimsa
Vale che per ogni x e y appartenenti a tale intervallo:
|f(x)-f(y)|=|f(k)|*|x-y|, dove k é un punto di (1, e^2)
(Teo di Lagrange). k dipende dagli x e y scelti.
Se però cerco il valore massimo che |f'(k)| può assumere su (1, e^2), chiamiamolo M, posso dire che
|f(x)-f(y)|<= M *|x-y|, di sicuro, qualsiasi siano x e y in (1, e^2).
Ora, si vede facilmente che, essendo la funzione f' crescente (strettamente), assume massimo quando inserisco il valore di t "più grande che posso", cioé t=e^2.
Facciamo i conti: f'(e^2)= log(e^2)+1 =3
Ciao
Ahimsa
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