Disuguaglianza triangolare per $d_{oo}$
Ciao, amici!
Il mio testo di analisi non dimostra il fatto che la distanza dell'estremo superiore, definita nell'insieme $C(I)$ con $I \sub RR$ come
\[d_{\infty} (f,g)= \text{sup}_{x \in I}|f(x)-g(x)|\]
soddisfa la disuguaglianza triangolare $d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$, così come la soddisfa, su $RR^n$ il caso discreto $d_{\infty}(\vec x, \vec y) = \text{max}_{i=1,...,n} { |x_i-y_i| } $.
Ho cercato parecchio su Internet, ma non ne trovo una dimostrazione... Qualcuno potrebbe aiutarmi suggerendo un link o una dimostrazione?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Il mio testo di analisi non dimostra il fatto che la distanza dell'estremo superiore, definita nell'insieme $C(I)$ con $I \sub RR$ come
\[d_{\infty} (f,g)= \text{sup}_{x \in I}|f(x)-g(x)|\]
soddisfa la disuguaglianza triangolare $d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$, così come la soddisfa, su $RR^n$ il caso discreto $d_{\infty}(\vec x, \vec y) = \text{max}_{i=1,...,n} { |x_i-y_i| } $.
Ho cercato parecchio su Internet, ma non ne trovo una dimostrazione... Qualcuno potrebbe aiutarmi suggerendo un link o una dimostrazione?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Risposte
Non capisco la difficoltà di dimostrarlo da te... Sfrutta la diseguaglianza triangolare del valore assoluto e considera che sup$ (f+g)\leq$sup$ f$ + sup $g$.
Quest'ultima affermazione è piuttosto facile da dimostrare: per definizione di estremo superiore $f(x)+g(x)\leq $sup $f + $sup $g, \forall x$. Dato che l'affermazione vale per ogni $x$, puoi prendere l'estremo superiore anche a sinistra.
Paola
Quest'ultima affermazione è piuttosto facile da dimostrare: per definizione di estremo superiore $f(x)+g(x)\leq $sup $f + $sup $g, \forall x$. Dato che l'affermazione vale per ogni $x$, puoi prendere l'estremo superiore anche a sinistra.
Paola
Grazie di cuore, Primenumber! Sono annegato in un bicchier d'acqua... 
Direi quindi che, per la disuguaglianza triangolare del modulo, $|f-h|+|h-g|>=|f-g|$ e quindi, come mi hai fatto notare
$"sup"_{x \in I}|f(x)-h(x)|+"sup"_{x \in I}|h(x)-g(x)| >= "sup"_{x \in I} { |f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)| } >= |f(x)-g(x)|$
$=> "sup"_{x \in I}|f(x)-h(x)|+"sup"_{x \in I}|h(x)-g(x)| >= "sup"_{x \in I}|f(x)-g(x)|$.
Per il caso discreto penso che possiamo scegliere un intervallo $I$ tale che ${x_i,...,x_n} \sub I$ definendo su esso una funzione tale che $g(x_i)=y_i$ e ponendo $f(x_i)=x_i$ nella disuguaglianza valida per il caso continuo.
$+oo$ grazie ancora!
Direi quindi che, per la disuguaglianza triangolare del modulo, $|f-h|+|h-g|>=|f-g|$ e quindi, come mi hai fatto notare$"sup"_{x \in I}|f(x)-h(x)|+"sup"_{x \in I}|h(x)-g(x)| >= "sup"_{x \in I} { |f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)| } >= |f(x)-g(x)|$
$=> "sup"_{x \in I}|f(x)-h(x)|+"sup"_{x \in I}|h(x)-g(x)| >= "sup"_{x \in I}|f(x)-g(x)|$.
Per il caso discreto penso che possiamo scegliere un intervallo $I$ tale che ${x_i,...,x_n} \sub I$ definendo su esso una funzione tale che $g(x_i)=y_i$ e ponendo $f(x_i)=x_i$ nella disuguaglianza valida per il caso continuo.
$+oo$ grazie ancora!
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