Disuguaglianza tra norme
Qualcuno come si dimostra questa disuguaglianza? O se è una disuguaglianza "nota", qual è il suo nome?
$|| k|| >= |k|/\sqrt(2)$, dove la dimensione è 2 e $|k|=|k_1|+|k_2|$
Per ora sono riuscito solo a giustificarla, ma non è proprio una dimostrazione elegante.
Vi ringrazio fin da subito per l'aiuto.
$|| k|| >= |k|/\sqrt(2)$, dove la dimensione è 2 e $|k|=|k_1|+|k_2|$
Per ora sono riuscito solo a giustificarla, ma non è proprio una dimostrazione elegante.
Vi ringrazio fin da subito per l'aiuto.
Risposte
Ps vi anticipo e vi do già la risposta alla prima domanda che mi porrete, ovvero: "cosa hai fatto tu?"
elevo al quadrato a sinistra e a destra
osservo che a sinistra ho la diagonale di un rettangolo al quadrato e a destra la stessa cosa diviso due più l'area del rettangolo ($k_1\cdot k_2=d^2/2sin(2\theta)$), dove $\theta$ è l'angolo tra i lati "k_1", "k_2" e "d" è la diagonale e si conclude.
Ma, come già detto, conoscete una dimostrazione più elegante? O se è una disuguaglianza della teoria (che forse non conosco) come si chiama? E/o come si generalizza?
elevo al quadrato a sinistra e a destra
osservo che a sinistra ho la diagonale di un rettangolo al quadrato e a destra la stessa cosa diviso due più l'area del rettangolo ($k_1\cdot k_2=d^2/2sin(2\theta)$), dove $\theta$ è l'angolo tra i lati "k_1", "k_2" e "d" è la diagonale e si conclude.
Ma, come già detto, conoscete una dimostrazione più elegante? O se è una disuguaglianza della teoria (che forse non conosco) come si chiama? E/o come si generalizza?
La prima domanda che ti porrei in realtà è di dire che cosa è \(k\), in che spazio vive, con quale norma, e di definire tutto per bene.
Dunque se ho capito bene vuoi dimostrare che:
$sqrt((x^2+y^2))>=(abs(x)+abs(y))/(sqrt(2)$ per ogni $(x,y) in R^2$
Elevando al quadrato otteniamo
$2x^2+2y^2>=x^2+y^2+2*abs(xy)$
$x^2+y^2-2abs(xy)>=0$
Costruisco il quadrato (Potevi anche considerare 2 casi volendo, $xy>0$ e $xy<0$, in modo da levare i moduli)
$(abs(x)-abs(y))^2>=0$
Che è abbastanza vero dato che è un quadrato.
Geometricamente, vuoi dimostrare che la diagonale di un rettangolo è maggiore della somma dei lati divisa per radice di 2.
$sqrt((x^2+y^2))>=(abs(x)+abs(y))/(sqrt(2)$ per ogni $(x,y) in R^2$
Elevando al quadrato otteniamo
$2x^2+2y^2>=x^2+y^2+2*abs(xy)$
$x^2+y^2-2abs(xy)>=0$
Costruisco il quadrato (Potevi anche considerare 2 casi volendo, $xy>0$ e $xy<0$, in modo da levare i moduli)
$(abs(x)-abs(y))^2>=0$
Che è abbastanza vero dato che è un quadrato.
Geometricamente, vuoi dimostrare che la diagonale di un rettangolo è maggiore della somma dei lati divisa per radice di 2.
"Raptorista":
La prima domanda che ti porrei in realtà è di dire che cosa è \(k\), in che spazio vive, con quale norma, e di definire tutto per bene.
Hai ragione è che sono fisico
e questo è un piccolo pezzo di una dimostrazione di una proposizione di fisica matematica e non tutto è definito per bene. Ma credo che gli elementi essenziali siano quelli che ho già detto.Aggiungo solo (forse questo sì che era importante) che k è un vettore di $Z^2$ e la norma è quella Euclidea
[quote="Raptorista"][/quote]
Sì dai, ci può stare
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