Disuguaglianza semplice
Mi sono incartato in questa semplice disuguaglianza e non riesco a capire come ci si arrivi:
$(2^n-1)(2^n-1)=2^(2n)-2^(n)-2^(n)+1>2^(2n-1)$
$(2^n-1)(2^n-1)=2^(2n)-2^(n)-2^(n)+1>2^(2n-1)$
Risposte
Vuoi dimostrare che $2^(2n) - 1 > 2^(2n -1)$?
Beh, scusa, $2^(2n) - 1 > 2^(2n -1) <=> 2^(2n-1) > 1$ e questo è banale, dato che (assumendo $n>1$) equivale a $2n -1 >0$.
Beh, scusa, $2^(2n) - 1 > 2^(2n -1) <=> 2^(2n-1) > 1$ e questo è banale, dato che (assumendo $n>1$) equivale a $2n -1 >0$.
"gugo82":
Vuoi dimostrare che $2^(2n) - 1 > 2^(2n -1)$?
Non esattamente, forse hai frainteso ma vorrei dimostrare questo, non credo sia la stessa cosa a cui ti riferisci.
$2^(2n)-2^(n)-2^(n)+1>2^(2n-1) $ o meglio $2^(2n)-2*2^(n)+1>2^(2n-1) $
Scusa zio, ho letto una cosa per un’altra… 
Insomma, ti interessa una cosa del genere $(x -1)^2> 1/2 x^2 <=> 1/2 x^2 - 2x +1 >0$ con $x=2^n$.
Visto che il discriminante ridotto del polinomio al primo membro è $Delta/4 = 1 - 1/2 = 1/2$ ed è positivo, questo accade quando $x < (1 - sqrt(2)/2)/(1/2) = 2 - sqrt(2)$ oppure $x>2+sqrt(2)$; sostituendo $x=2^n$, ottieni $2^n < 2-sqrt(2) vv 2^n > 2+sqrt(2)$ ossia $n >=2$.
Quindi $(2^n -1)^2 > 2^(2n-1)$ se e solo se $n>=2$.
Insomma, ti interessa una cosa del genere $(x -1)^2> 1/2 x^2 <=> 1/2 x^2 - 2x +1 >0$ con $x=2^n$.
Visto che il discriminante ridotto del polinomio al primo membro è $Delta/4 = 1 - 1/2 = 1/2$ ed è positivo, questo accade quando $x < (1 - sqrt(2)/2)/(1/2) = 2 - sqrt(2)$ oppure $x>2+sqrt(2)$; sostituendo $x=2^n$, ottieni $2^n < 2-sqrt(2) vv 2^n > 2+sqrt(2)$ ossia $n >=2$.
Quindi $(2^n -1)^2 > 2^(2n-1)$ se e solo se $n>=2$.
Ti ringrazio innanzitutto per la pazienza ma sicuramente continuo ad esprimermi in modo sbagliato.
Tutto nasce da questo documento
Mi faceva piacere una volta che avevo sviluppato il prodotto $(2^n-1)(2^n-1)$ arrivare con pochi passaggi dedurre che tale prodotto è maggiore di $2^(2n-1)$ come fa il testo.
Quei passaggi che hai indicato dimostrano perfettamente che la disuguaglianza è dimostrata per $n>1$ ma non capisco come si possa costruire partendo da zero.
Tutto nasce da questo documento
Mi faceva piacere una volta che avevo sviluppato il prodotto $(2^n-1)(2^n-1)$ arrivare con pochi passaggi dedurre che tale prodotto è maggiore di $2^(2n-1)$ come fa il testo.
Quei passaggi che hai indicato dimostrano perfettamente che la disuguaglianza è dimostrata per $n>1$ ma non capisco come si possa costruire partendo da zero.
Perché, quelli che ho scritto ti sembrano “molti” passaggi? 
Ad ogni modo, non capisco perché ad alcuni sembra che non servano passaggi per arrivare a qualcosa che non si capisce, ma basti l’intuito… Fosse così, la Matematica sarebbe alquanto banale, n’est-ce pas?
Ad ogni modo, non capisco perché ad alcuni sembra che non servano passaggi per arrivare a qualcosa che non si capisce, ma basti l’intuito… Fosse così, la Matematica sarebbe alquanto banale, n’est-ce pas?
Si ma qual è il metodo da $(2^n-1)^2$ per arrivare al secondo termine della disuguaglianza ?
Nel caso a cui fai riferimento hai già i due termini della disuguaglianza e quindi devi dimostrarla, nel mio caso invece hai un solo termine e devi ricostruire il secondo termine.
Nel caso a cui fai riferimento hai già i due termini della disuguaglianza e quindi devi dimostrarla, nel mio caso invece hai un solo termine e devi ricostruire il secondo termine.
Fai qualche prova e ti fai un’idea (cioè, elabori una congettura); poi provi a dimostrarla.
Se riesci, bene. Se non riesci, studi dove le cose non funzionano e cerchi di rimediare, elaborando una nuova congettura; poi provi a dimostrarla… E così via.
Si chiama ricerca scientifica, funziona così…
Vedi qui.
Se riesci, bene. Se non riesci, studi dove le cose non funzionano e cerchi di rimediare, elaborando una nuova congettura; poi provi a dimostrarla… E così via.
Si chiama ricerca scientifica, funziona così…
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