Disuguaglianza "complessa"

[brownbetty1]

Ciao a tutti,

come da titolo, vorrei sapere quali passaggi intermedi portano da questa disuguaglianza
$ |1+F(j\omega)|>1/\alpha $
a questa
$ |F(j\omega)|>1+ 1/\alpha $
con $\alpha$ positiva.

Grazie in anticipo

[killing_buddha]

E' impossibile rispondere senza sapere chi sono $F,j,\omega$, non credi?

[brownbetty1]

Si, scusa, $F(j\omega)$ è una funzione di risposta armonica:
http://www.dii.unimo.it/~zanasi/didatti ... monica.pdf

[Raptorista1]

Manca anche la relazione tra \(\alpha\) e gli altri parametri, altrimenti è chiaramente falso.

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[dissonance]

"brownbetty":Ciao a tutti,

come da titolo, vorrei sapere quali passaggi intermedi portano da questa disuguaglianza
$ |1+F(j\omega)|>1/\alpha $
a questa
$ |F(j\omega)|>1+ 1/\alpha $
con $\alpha$ positiva.

Grazie in anticipo

Senza sapere né leggere né tantomeno scrivere (cit. Dino Fortunato), l'unica cosa che possiamo fare è porre \(z=F(j\omega)\) e notare che
\[
|1+z|\ge | |z|-1 | \ge |z|-1, \]
per cui
\[
|z|> 1+ \frac{1}\alpha \Rightarrow |1+z|\ge \frac1{\alpha}, \]
ma *non* l'implicazione inversa (infatti hai visto come hai fatto arrabbiare i matematici? ). Se a te interessa l'implicazione inversa ti tocca dare informazioni aggiuntive su \(\alpha\) e \(z\), come dice Raptorista.

[gugo82]

Al massimo, da $|1+F(omegaj)|>1/alpha$ si può pensare di ottenere $|F(omegaj)|>1/alpha -1$ sfruttando la disuguaglianza triangolare... Controlla i segni.

P.S.: Tra l'altro, sui fogli linkati non ho trovato la disuguaglianza citata.

[Raptorista1]

"dissonance":(infatti hai visto come hai fatto arrabbiare i matematici? )

Non sono mai stato così lusingato in tutta la mia vita!

:P

[brownbetty1]

Innanzitutto, grazie a tutti per l'aiuto (e soprattutto per la comprensione )

"dissonance":[quote="brownbetty"]Ciao a tutti,

come da titolo, vorrei sapere quali passaggi intermedi portano da questa disuguaglianza
$ |1+F(j\omega)|>1/\alpha $
a questa
$ |F(j\omega)|>1+ 1/\alpha $
con $\alpha$ positiva.

Grazie in anticipo

Senza sapere né leggere né tantomeno scrivere (cit. Dino Fortunato), l'unica cosa che possiamo fare è porre \(z=F(j\omega)\) e notare che
\[
|1+z|\ge | |z|-1 | \ge |z|-1, \]
per cui
\[
|z|> 1+ \frac{1}\alpha \Rightarrow |1+z|\ge \frac1{\alpha}, \]
ma *non* l'implicazione inversa (infatti hai visto come hai fatto arrabbiare i matematici? ). Se a te interessa l'implicazione inversa ti tocca dare informazioni aggiuntive su \(\alpha\) e \(z\), come dice Raptorista.[/quote]

"gugo82":Al massimo, da $ |1+F(omegaj)|>1/alpha $ si può pensare di ottenere $ |F(omegaj)|>1/alpha -1 $ sfruttando la disuguaglianza triangolare... Controlla i segni.

P.S.: Tra l'altro, sui fogli linkati non ho trovato la disuguaglianza citata.

Si tratta di una disuguaglianza (l'ultima) che dovrebbe permettere di limitare l'ampiezza dell'errore della risposta a regime a un segnale sinusoidale in un sistema dinamico LTI, quale è la retroazione unitaria di $F(s)$. Dagli appunti, i segni riportati sembrano corretti (anch'io avevo pensato di usare la disuguaglianza triangolare, come di diceva gugo82, ma i segni sono quelli). Su tre libri (di cui 2 in inglese) non ho trovato nulla, come al solito...