Disuguaglianza Integrale Gaussiana
Ciao,
Probabilmente sono un po' arrugginito. Devo dimostrare la seguente disuguaglianza, valida per \(\displaystyle \beta\in(\sqrt{\frac{2}{\pi}},\infty) \):
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\beta}^{\beta}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy>1-e^{-\frac{1}{2}\beta^2} \)
Si consiglia di usare quest'altra disuguaglianza: \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy\leq\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-\frac{1}{2}x^2}}{x} \), valida per \(\displaystyle x\in(0,\infty) \).
Qualcuno mi può aiutare? Grazie!
Probabilmente sono un po' arrugginito. Devo dimostrare la seguente disuguaglianza, valida per \(\displaystyle \beta\in(\sqrt{\frac{2}{\pi}},\infty) \):
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\beta}^{\beta}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy>1-e^{-\frac{1}{2}\beta^2} \)
Si consiglia di usare quest'altra disuguaglianza: \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy\leq\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-\frac{1}{2}x^2}}{x} \), valida per \(\displaystyle x\in(0,\infty) \).
Qualcuno mi può aiutare? Grazie!
Risposte
Con la disuguaglianza non trovo nulla di sensato al momento.
Tuttavia si può procedere come segue.
Posto per comodità \(g(y)=\exp (-y^2/2)\), per provare la disuguaglianza basta mostrare che:
\[
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-\beta}^\beta g(y)\ \text{d} y + g(\beta) -1}_{=:\Delta (\beta)}>0
\]
per \(\beta \in ]\sqrt{2/\pi},\infty[\).
La funzione \(\Delta\), che esprime il "deficit" nella tua disuguaglianza, è derivabile in \(]0,\infty[\) e si ha:
\[
\begin{split}
\Delta^\prime (\beta) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Big( g(\beta) + g(-\beta)\Big) + g^\prime (\beta)\\
&= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\ g(\beta) + g^\prime (\beta) &\text{(la } g \text{ è pari)}\\
&= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\ e^{-\frac{1}{2}\ \beta^2} - \beta\ e^{-\frac{1}{2}\ \beta^2}\\
&= g(\beta)\ \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} -\beta\right)
\end{split}
\]
sicché:
\[
\Delta^\prime (\beta) \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \beta \geq \sqrt{\frac{2}{\pi}}\; ,
\]
perciò il deficit \(\Delta\) è crescente in \([\sqrt{2/\pi},\infty[\).
Pertanto, per mostrare valida la disuguaglianza \(\Delta (\beta)>0\) in \(]\sqrt{2/\pi},\infty[\) basta far vedere che \(\Delta (\sqrt{2/\pi})>0\).
Si ha:
\[
\begin{split}
\Delta (\sqrt{2/\pi}) &\geq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ g(\sqrt{2/\pi})\ \int_{-\sqrt{2/\pi}}^{\sqrt{2/\pi}}\text{d} y + g(\sqrt{2/\pi}) -1 \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ g(\sqrt{2/\pi})\ 2\sqrt{\frac{2}{\pi}} + g(\sqrt{2/\pi}) -1\\
&= \left(\frac{2}{\pi}+1\right)\ e^{-1/\pi} -1\\
&\approx 0.30774\ldots\\
&>0
\end{split}
\]
e quindi siamo a posto.
Tuttavia si può procedere come segue.
Posto per comodità \(g(y)=\exp (-y^2/2)\), per provare la disuguaglianza basta mostrare che:
\[
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-\beta}^\beta g(y)\ \text{d} y + g(\beta) -1}_{=:\Delta (\beta)}>0
\]
per \(\beta \in ]\sqrt{2/\pi},\infty[\).
La funzione \(\Delta\), che esprime il "deficit" nella tua disuguaglianza, è derivabile in \(]0,\infty[\) e si ha:
\[
\begin{split}
\Delta^\prime (\beta) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Big( g(\beta) + g(-\beta)\Big) + g^\prime (\beta)\\
&= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\ g(\beta) + g^\prime (\beta) &\text{(la } g \text{ è pari)}\\
&= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\ e^{-\frac{1}{2}\ \beta^2} - \beta\ e^{-\frac{1}{2}\ \beta^2}\\
&= g(\beta)\ \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} -\beta\right)
\end{split}
\]
sicché:
\[
\Delta^\prime (\beta) \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \beta \geq \sqrt{\frac{2}{\pi}}\; ,
\]
perciò il deficit \(\Delta\) è crescente in \([\sqrt{2/\pi},\infty[\).
Pertanto, per mostrare valida la disuguaglianza \(\Delta (\beta)>0\) in \(]\sqrt{2/\pi},\infty[\) basta far vedere che \(\Delta (\sqrt{2/\pi})>0\).
Si ha:
\[
\begin{split}
\Delta (\sqrt{2/\pi}) &\geq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ g(\sqrt{2/\pi})\ \int_{-\sqrt{2/\pi}}^{\sqrt{2/\pi}}\text{d} y + g(\sqrt{2/\pi}) -1 \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ g(\sqrt{2/\pi})\ 2\sqrt{\frac{2}{\pi}} + g(\sqrt{2/\pi}) -1\\
&= \left(\frac{2}{\pi}+1\right)\ e^{-1/\pi} -1\\
&\approx 0.30774\ldots\\
&>0
\end{split}
\]
e quindi siamo a posto.
Estremamente gentile, gugo: ti ringrazio molto!
Alla fine ci sono arrivato anch'io con un altro metodo:
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\beta}^{\beta}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy=1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-\beta}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\beta}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy=1-\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{\beta}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy= \)
\(\displaystyle =1-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{\beta}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy \)
Il penultimo passaggio è valido per simmetria della gaussiana.
Quindi, sfruttando la disuguaglianza consigliata:
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\beta}^{\beta}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy\geq 1-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{-\frac{1}{2}\beta^2}}{\beta}>1-e^{-\frac{1}{2}\beta^2} \)
L'ultimo passaggio è corretto solo se \(\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{\beta}<1 \), che si ha se \(\displaystyle \beta>\sqrt{\frac{2}{\pi}} \).
Grazie ancora per la disponibilità.
Alla fine ci sono arrivato anch'io con un altro metodo:
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\beta}^{\beta}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy=1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-\beta}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\beta}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy=1-\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{\beta}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy= \)
\(\displaystyle =1-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{\beta}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy \)
Il penultimo passaggio è valido per simmetria della gaussiana.
Quindi, sfruttando la disuguaglianza consigliata:
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\beta}^{\beta}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy\geq 1-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{-\frac{1}{2}\beta^2}}{\beta}>1-e^{-\frac{1}{2}\beta^2} \)
L'ultimo passaggio è corretto solo se \(\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{\beta}<1 \), che si ha se \(\displaystyle \beta>\sqrt{\frac{2}{\pi}} \).
Grazie ancora per la disponibilità.
Mi sono dimenticato di dire: naturalmente si deve sfruttare la disuguaglianza dopo averla invertita, moltiplicando per \(\displaystyle -1 \) ambo i membri.
Anche perché, gugo, non si dovrebbe avere che \(\displaystyle \Delta^'(\beta)\geq 0\Leftrightarrow\beta\leq\sqrt{\frac{2}{\pi}} \) ?
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