Disuguaglianza imponente
Ciao,
Da una dimostrazione di fisica sono arrivato a una disuguaglianza e sono bloccato in questo punto:
$2g^2+(2gv_0k)/(sqrt(x^2+k^2))+2sqrt(g^4+(g^3*2v_0k)/(sqrt(x^2+k^2))-2k*g^3+(v_0^2k^2)/(x^2+k^2))<2gh$.
Dovrei ""semplicemente"" verificare che questa disuguaglianza è vera indipendentemente da $v_0$.
Da una dimostrazione di fisica sono arrivato a una disuguaglianza e sono bloccato in questo punto:
$2g^2+(2gv_0k)/(sqrt(x^2+k^2))+2sqrt(g^4+(g^3*2v_0k)/(sqrt(x^2+k^2))-2k*g^3+(v_0^2k^2)/(x^2+k^2))<2gh$.
Dovrei ""semplicemente"" verificare che questa disuguaglianza è vera indipendentemente da $v_0$.
Risposte
Ciao AnalisiZero,
Dividi tutto per $2$ ed isola la radice quadrata: ottieni una disequazione irrazionale, anche se non facile...
Elevando poi al quadrato, se tutto va bene...
Dividi tutto per $2$ ed isola la radice quadrata: ottieni una disequazione irrazionale, anche se non facile...
Elevando poi al quadrato, se tutto va bene...
E rispetto a quale variabile potrei risolvere la prima disequazione del sistema?
Introduci una variabile ausiliaria $t=(v_0k)/(sqrt(x^2+k^2))$ e mostra che la funzione $f(t)$ al primo membro ha estremo superiore $<2gh$. Per fare ciò basta uno studio della monotonia della $f$.
Oppure magari mostra di cosa stai parlando 
Mi sembra ci siano di mezzo i moti.
Mi sembra ci siano di mezzo i moti.
Volevo dimostrare che:
Preso un cannoncino con un proiettile, puntato contro una pallina tenuta sospesa. Se il proiettile viene sparato nello stesso istante in cui la pallina viene lasciata cadere, allora il proiettile colpirà sicuramente la pallina, indipendentemente dalla sua velocità inziale.
Preso un cannoncino con un proiettile, puntato contro una pallina tenuta sospesa. Se il proiettile viene sparato nello stesso istante in cui la pallina viene lasciata cadere, allora il proiettile colpirà sicuramente la pallina, indipendentemente dalla sua velocità inziale.
Dividendo tutto per $2$ e sfruttando anche l'astuta variabile ausiliaria proposta da gugo82, si ha:
$g^2 + g t + sqrt{g^4 + 2g^3 t - 2kg^3 + t^2} < gh $
$ sqrt{t^2 + 2g^3 t + g^3(g - 2k)} < - g t + g(h - g) $
che equivale al sistema seguente:
$\{(- g t + g(h - g) > 0),(t^2 + 2g^3 t + g^3(g - 2k) \ge 0),(t^2 + 2g^3 t + g^3(g - 2k) < (- g t + gh - g^2)^2):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - sqrt{g^6 - g^4 + 2kg^3} \vv t \ge - g^3 + sqrt{g^6 - g^4 + 2kg^3}),(t^2 + 2g^3 t + g^4 - 2kg^3 < g^4 - 2 hg^3 + 2 g^3 t + h^2 g^2 - 2 h g^2 t + g^2 t^2):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - sqrt{g^3(g^3 - g + 2k)} \vv t \ge - g^3 + sqrt{g^3(g^3 - g + 2k)}),(t^2 - 2kg^3 < - 2 hg^3 + h^2 g^2 - 2 h g^2 t + g^2 t^2):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - g sqrt{g(g^3 - g + 2k)} \vv t \ge - g^3 + g sqrt{g(g^3 - g + 2k)}),(2kg^3 - 2 hg^3 + h^2 g^2 - 2 h g^2 t + (g^2 - 1)t^2 > 0):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - g sqrt{g(g^3 - g + 2k)} \vv t \ge - g^3 + g sqrt{g(g^3 - g + 2k)}),((g^2 - 1)t^2 - 2 h g^2 t + h^2 g^2 + 2g^3(k - h) > 0):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - g sqrt{g(g^3 - g + 2k)} \vv t \ge - g^3 + g sqrt{g(g^3 - g + 2k)}),(t < frac{hg^2 - sqrt{h^2 g^4 - (g^2 - 1)[h^2 g^2 +2 g^3(k - h)]}}{g^2 - 1} \vv t > frac{hg^2 + sqrt{h^2 g^4 - (g^2 - 1)[h^2 g^2 +2 g^3(k - h)]}}{g^2 - 1}):}$
Sempre che non abbia sbagliato qualche conto...
$g^2 + g t + sqrt{g^4 + 2g^3 t - 2kg^3 + t^2} < gh $
$ sqrt{t^2 + 2g^3 t + g^3(g - 2k)} < - g t + g(h - g) $
che equivale al sistema seguente:
$\{(- g t + g(h - g) > 0),(t^2 + 2g^3 t + g^3(g - 2k) \ge 0),(t^2 + 2g^3 t + g^3(g - 2k) < (- g t + gh - g^2)^2):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - sqrt{g^6 - g^4 + 2kg^3} \vv t \ge - g^3 + sqrt{g^6 - g^4 + 2kg^3}),(t^2 + 2g^3 t + g^4 - 2kg^3 < g^4 - 2 hg^3 + 2 g^3 t + h^2 g^2 - 2 h g^2 t + g^2 t^2):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - sqrt{g^3(g^3 - g + 2k)} \vv t \ge - g^3 + sqrt{g^3(g^3 - g + 2k)}),(t^2 - 2kg^3 < - 2 hg^3 + h^2 g^2 - 2 h g^2 t + g^2 t^2):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - g sqrt{g(g^3 - g + 2k)} \vv t \ge - g^3 + g sqrt{g(g^3 - g + 2k)}),(2kg^3 - 2 hg^3 + h^2 g^2 - 2 h g^2 t + (g^2 - 1)t^2 > 0):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - g sqrt{g(g^3 - g + 2k)} \vv t \ge - g^3 + g sqrt{g(g^3 - g + 2k)}),((g^2 - 1)t^2 - 2 h g^2 t + h^2 g^2 + 2g^3(k - h) > 0):}$
$\{(t < h - g),(t \le - g^3 - g sqrt{g(g^3 - g + 2k)} \vv t \ge - g^3 + g sqrt{g(g^3 - g + 2k)}),(t < frac{hg^2 - sqrt{h^2 g^4 - (g^2 - 1)[h^2 g^2 +2 g^3(k - h)]}}{g^2 - 1} \vv t > frac{hg^2 + sqrt{h^2 g^4 - (g^2 - 1)[h^2 g^2 +2 g^3(k - h)]}}{g^2 - 1}):}$
Sempre che non abbia sbagliato qualche conto...
È il problema della scimmia e del cacciatore, e non mi pare richiedesse simili calcoli
Considerando il moto $x(t)=vec(v_0)t-1/2vec(g)t^2$ della palla di cannone
E il moto $y(t)=vec(d)-1/2vec(g)t^2$
Con l’origine posto sul cannone
Deve esistere $t>0:x(t)=y(t)$ ovvero $t_0=||vec(d)||/(||vec(v_0)||)$
Inoltre l’impatto deve avvenire al di sopra del suolo quindi deve essere soddisfatta la disequazione
$||v_0||geq||vec(d)||sqrt(g/(2y_0))$
Come lasciava intendere vulpla non ci sono ‘contazzi da carpentiere’ cit. killing
E il moto $y(t)=vec(d)-1/2vec(g)t^2$
Con l’origine posto sul cannone
Deve esistere $t>0:x(t)=y(t)$ ovvero $t_0=||vec(d)||/(||vec(v_0)||)$
Inoltre l’impatto deve avvenire al di sopra del suolo quindi deve essere soddisfatta la disequazione
$||v_0||geq||vec(d)||sqrt(g/(2y_0))$
Come lasciava intendere vulpla non ci sono ‘contazzi da carpentiere’ cit. killing
"anto_zoolander":
[...] non ci sono ‘contazzi da carpentiere’ cit. killing
[ot]L'ha sempre detto mia moglie che avrei dovuto fare ingegneria edile...
[/ot]
"anto_zoolander":
Considerando il moto $x(t)=vec(v_0)t-1/2vec(g)t^2$ della palla di cannone
Stai dicendo che c'è un'accelerazione lungo $x$?
No $x(t)$ intendo l’equazione del moto generico.
Chiamala $phi,Omega,mu,theta,f$... come preferisci
In generale intendo tipo $x(t)=x_1(t)vec(i)+y_1(t)vec(j)$
Quella che ho scritto è una equazione vettoriale, scomporre molto spesso porta conti in più che si possono fare alla fine.
Questo dimostra che se $0leq||v_0||<||vec(d)||sqrt(g/(2y_0))$ non colpisce il bersaglio
Chiamala $phi,Omega,mu,theta,f$... come preferisci
In generale intendo tipo $x(t)=x_1(t)vec(i)+y_1(t)vec(j)$
Quella che ho scritto è una equazione vettoriale, scomporre molto spesso porta conti in più che si possono fare alla fine.
Questo dimostra che se $0leq||v_0||<||vec(d)||sqrt(g/(2y_0))$ non colpisce il bersaglio
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