Disuguaglianza di Young...
Carissimi ragazzi c'è un dubbio che desidererei condividere assieme a voi. Nel corso dello studio per l'esame di analisi II, mi sono imbattuto nella disuguaglianza di Young http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Young . A conclusione di tale dimostrazione il testo ritiene che ve ne sia una sorta di generalizzazione di questa disuguaglianza, ma a tal proposito non ne fa alcun riferimento. In attesa di vostre delucidazioni in merito, ringrazio anticipatamente per la collaborazione. 
Risposte
Secondo me il testo si riferisce alla disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Io direi che la versione più generale possibile di un risultato di questo tipo è la seguente.
Proposizione Siano \(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \) dei coefficienti \(\ge 0\) e tali che la loro somma sia \(1\) (pesi). Allora per ogni \(n\)-upla \(a_1 \ldots a_n > 0\) vale la disuguaglianza
\[a_1^{\alpha_1}a_2^{\alpha_2}\ldots a_n^{\alpha_n} \le \alpha_1 a_1+\alpha_2a_2+\ldots +\alpha_n a_n.\]
Quella a sinistra si chiama media geometrica, quella a destra media aritmetica. In effetti si aprono altre strade ancora su ulteriori generalizzazioni: ad esempio di questa disuguaglianza si può dare una versione continua.
Su questo forum c'è gente che ne capisce molto più di me di queste cose.
Proposizione Siano \(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \) dei coefficienti \(\ge 0\) e tali che la loro somma sia \(1\) (pesi). Allora per ogni \(n\)-upla \(a_1 \ldots a_n > 0\) vale la disuguaglianza
\[a_1^{\alpha_1}a_2^{\alpha_2}\ldots a_n^{\alpha_n} \le \alpha_1 a_1+\alpha_2a_2+\ldots +\alpha_n a_n.\]
Quella a sinistra si chiama media geometrica, quella a destra media aritmetica. In effetti si aprono altre strade ancora su ulteriori generalizzazioni: ad esempio di questa disuguaglianza si può dare una versione continua.
Su questo forum c'è gente che ne capisce molto più di me di queste cose.
"dissonance":
n effetti si aprono altre strade ancora su ulteriori generalizzazioni: ad esempio di questa disuguaglianza si può dare una versione continua.
In che senso?
Invece della somma ci sarà un integrale.
In particolare, vale il seguente teorema:
La (Y) è detta disuguaglianza di Young.
Quella citata nel post d'apertura si ottiene dalla precedente considerando \(f(x):=x^{p-1}\) con \(p>1\).
Siano \(R> 0\) ed \(f:[0,R]\to \mathbb{R}\) strettamente crescente con \(f(0)=0\).
Per ogni \(a\in [0,R]\) e \(b\in [0,f(R)]\) risulta:
\[
\tag{Y} \int_0^a f(x)\ \text{d} x +\int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y \geq a b\; .
\]
Inoltre, vale l'uguaglianza in (Y) se e solo se \(b=f(a)\).
La (Y) è detta disuguaglianza di Young.
Quella citata nel post d'apertura si ottiene dalla precedente considerando \(f(x):=x^{p-1}\) con \(p>1\).
"gugo82":
Siano \(R> 0\) ed \(f:[0,R]\to \mathbb{R}\) strettamente crescente con \(f(0)=0\).
Per ogni \(a\in [0,R]\) e \(b\in [0,f(R)]\) risulta:
\[
\tag{Y} \int_0^a f(x)\ \text{d} x +\int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y \geq a b\; .
\]
Inoltre, vale l'uguaglianza in (Y) se e solo se \(b=f(a)\).
Dunque questa è la disuguaglianza di Young che rende quella "generalizzazione", di cui parlavo inizialmente, ossia http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Young?
Credo che dissonance alludesse a questa, ma non ne sono certo...
Quella proposta da Gugo è un'altra versione, leggermente più generale, della disuguaglianza di Young per due fattori.
Veramente io pensavo a una versione continua della disuguaglianza tra media geometrica pesata e media aritmetica pesata, così:
\[\exp\left\{ \int_{-\infty}^\infty\log \big(a(x)\big) w(x)\, dx\right\} \le \int_{-\infty}^\infty a(x)w(x)\, dx, \]
dove \(w(x)\ge 0\) e \(\int_{\mathbb{R}}w(x)\, dx=1\). Immagino che pure questa sia vera.
Il punto è che ci sono moltissime candidate ad essere versioni "più generali" della disuguaglianza di Young, e possiamo solo tirare ad indovinare su quale fosse quella intesa dal libro.
Veramente io pensavo a una versione continua della disuguaglianza tra media geometrica pesata e media aritmetica pesata, così:
\[\exp\left\{ \int_{-\infty}^\infty\log \big(a(x)\big) w(x)\, dx\right\} \le \int_{-\infty}^\infty a(x)w(x)\, dx, \]
dove \(w(x)\ge 0\) e \(\int_{\mathbb{R}}w(x)\, dx=1\). Immagino che pure questa sia vera.
Il punto è che ci sono moltissime candidate ad essere versioni "più generali" della disuguaglianza di Young, e possiamo solo tirare ad indovinare su quale fosse quella intesa dal libro.
Oddio, non pensavo che fosse così intricato decrittare quella "generalizzazione".
"dissonance":
\[\exp\left\{ \int_{-\infty}^\infty\log a(x) w(x)\, dx\right\} \le \int_{-\infty}^\infty a(x)w(x)\, dx, \]
dove \(w(x)\ge 0\) e \(\int_{\mathbb{R}}w(x)\, dx=1\).
Non mi è chiaro quale sia l'argomento del logaritmo nel primo integrale: solo \(a(x)\), oppure \(a(x)w(x)\)?
"gugo82":
[quote="dissonance"]\[\exp\left\{ \int_{-\infty}^\infty\log a(x) w(x)\, dx\right\} \le \int_{-\infty}^\infty a(x)w(x)\, dx, \]
dove \(w(x)\ge 0\) e \(\int_{\mathbb{R}}w(x)\, dx=1\).
Non mi è chiaro quale sia l'argomento del logaritmo nel primo integrale: solo \(a(x)\), oppure \(a(x)w(x)\)?[/quote]
Solo \(a(x)\). Modifico.
Beh, ma quella ricorda la disuguaglianza di Jensen scritta rispetto alla misura di probabilità:
\[
\mu: \mathfrak{L} (\mathbb{R}) \ni E\mapsto \int_E w(x)\ \text{d} x \in [0,\infty[\; ,
\]
con \(\phi (y)=e^y\).
Ricordo che la disuguaglianza di Jensen è la seguente:
e, nel caso indicato da dissonance, basta porre \(u(x):=\log a(x)\).
\[
\mu: \mathfrak{L} (\mathbb{R}) \ni E\mapsto \int_E w(x)\ \text{d} x \in [0,\infty[\; ,
\]
con \(\phi (y)=e^y\).
Ricordo che la disuguaglianza di Jensen è la seguente:
Siano \(\Omega ,\mathfrak{M} , \mu\) uno spazio di probabilità (i.e. \(\mu (\Omega )=1\)) e \(\phi :[0,\infty[\to [0,\infty[\) convessa.
Allora per ogni funzione misurabile \(u\in L^1(\Omega ;\mathbb{R})\) si ha:
\[
\phi \left( \int_\Omega u\ \text{d} \mu \right)\leq \int_\Omega \phi (u)\ \text{d} \mu\; .
\]
e, nel caso indicato da dissonance, basta porre \(u(x):=\log a(x)\).
Eh si. Non ti pare appropriato citarla come generalizzazione di GM-AM? Ok, sono d'accordo che me la potevo risparmiare (temo di avere confuso le idee). Ho voluto cercare di dire che Young è un caso particolare di GM-AM che a sua volta è un caso particolare di Jensen applicata ad \(\exp\). E che quindi pure quest'ultima può considerarsi "generalizzazione" della disuguaglianza di Young. Ecco tutto
@menale: Lascia perdere i miei post se ti hanno confuso.
@menale: Lascia perdere i miei post se ti hanno confuso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo