Disuguaglianza di Young

[Obionekenobi1]

Ho provato a dimostrare la disuguaglianza di Young sfruttando la concavità della funzione logaritmo. Ma il fatto che p debba essere >1 non va contro la definizione di concavità, cioè la variabile che si usa nella definizione di funzione concava utilizza un parametro t che è tale che $tin[0,1]$: se è così ne 1/p e neppure 1/q possono mai essere nulli, visto che 1/p +1/q=1. Perciò non posso applicare la concavità. Ma molti libri lo fanno. Dove sta l'errore?

[dissonance]

Ma infatti $p>1$ serve proprio a garantire $0<1/p<1$, e quindi anche $0<1/q<1$, cosicché se $x, y>0$, $1/p x^p+1/qy^q$ è una combinazione convessa di $x, y$.

[Obionekenobi1]

Ma nella definizione di funzione concava (vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Concave_function) t deve appartenere al compatto [0,1], ma se p>1, non si può prendere 1/p=t, da cui 1/q=1-t, ergo non si può applicare la condizione di concavità!

[dissonance]

Ma come no? Se $p>1$, allora $0<1/p<1$. Prova con $p=2$: allora $1/p=0.5\in[0, 1]$.

[Obionekenobi1]

Si ma ne 1/p ne 1/q possono essere mai pari a zero, ma nella definizione t può essere anche nullo: allora non si può applicare la condizione di concavità: sei daccordo?

[dissonance]

Ma assolutamente no. $p, q$ sono parametri fissati, non variabili.

[Obionekenobi1]

Ma nella definizione di funzione convessa c'è scritto $AA tin[0,1] $, e facendo così io non arrivo mai a t=0.

[gugo82]

Non capisco il problema.

La definizione di funzione convessa è:

[tex]$\forall t \in [0,1],\quad f(t\ x+(1-t)\ y)\leq t\ f(x)+(1-t)\ f(y)$[/tex],

il che vuol dire che comunque scegli [tex]$t\in [0,1]$[/tex] allora vale la disuguaglianza.
In particolare, nella tua dimostrazione, tu scegli [tex]$t=\tfrac{1}{p}$[/tex].

Non dirmi che il problema è nella gestione del quantificatore universale, ché dopo tre esami di Matematica (almeno!) dovresti aver imparato come si usa.

[Obionekenobi1]

Cmq visto che la funzione log() è strettamente crescente , si può prendere $t in(0,1)$, risolvere ogni sorta di problemi. Lasciamo stare i quantificatori, non vedo cosa centrino, tutti sappiamo cosa vogliono dire.

[ViciousGoblin]

"Obionekenobi":Cmq visto che la funzione log() è strettamente crescente , si può prendere $t in(0,1)$, risolvere ogni sorta di problemi. Lasciamo stare i quantificatori, non vedo cosa centrino, tutti sappiamo cosa vogliono dire.

Beh, da quanto scrivevi, il problema sembrava essere
"$\forall t\in[0,1]$ vale $P(t)$" IMPLICA "$\forall t\in]0,1[ $ vale $P(t)$"

[Obionekenobi1]

Beh mi sembra che questa è una visione assurda di vedere la risposta. Forse perchè uno non ha ben presente la disuguaglianza di Young.

[ViciousGoblin]

"Obionekenobi":Beh mi sembra che questa è una visione assurda di vedere la risposta. Forse perchè uno non ha ben presente la disuguaglianza di Young.

Ripeto che problemi da te manifestati nei messaggi precedenti non hanno nulla a che vedere con la disuguaglianza di Young.

Ma nella definizione di funzione convessa c'è scritto ∀t∈[0,1], e facendo così io non arrivo mai a t=0.

e perché mi dovrebbe importare di arrivare a $t=0$ ? Io ho $p>1$, e chiamo $t=1/p$. Dato che $0

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[dissonance]

@Obiwankenobi: Io ti consiglio di dare un'occhiata ai post dell'ultimo utente che ti ha risposto (clic su "Profilo", poi su "Vedi tutti i messaggi di questo utente") , e poi di riflettere su ciò che gli hai detto. Non sarà più probabile che sei TU ad avere delle lacune sulle basi del ragionamento logico? Niente di irrecuperabile, si intende, ma ci devi ragionare su spogliandoti di questa convinzione di avere ragione a tutti i costi.

[edit]Scrivevo contemporaneamente a V.G.

[Obionekenobi1]

Ok dissonance. Tu sei il moderatore e hai ragione.

[gugo82]

"Obionekenobi":Ok dissonance. Tu sei il moderatore e hai ragione.

Qui non si tratta di dar ragione o meno a qualcuno in virtù del suo status sul forum.
Dopotutto i mod sono uomini ed, in quanto tali, fallibili.

Si tratta di spiegare perchè le nostre spiegazioni (tutte e tre identiche nella sostanza) non ti soddifino.
Va da sé che per fare questa cosa tu debba riflettere un po' sulla definizione e sulla dimostrazione (nonché sulle variabili che stai quantificando, secondo me).

Noi aspettiamo fiduciosi.

[Obionekenobi1]

Cmq alla fine per me la risposta va bene, non è il caso di farne tutta sta storia. Grazie cmq delle risposte che mi avete dato in questo periodo.