Disuguaglianza di Sobolev

[gugo82]

Scusate la domanda così a bruciapelo, ma non mi ricordo bene una cosa ed al momento non posso consultare fonti attendibili.

Se non ricordo male, quando \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) è un dominio aperto limitato vale la disuguaglianza di Sobolev:
\[
\forall u\in W_0^{1,p}(\Omega),\quad \| u\|_{p^*}\leq C(p,N,\Omega)\ \| \nabla u\|_p
\]
con $1\leq p Quello che non ricordo è che succede nel caso \(p\geq N\)?
Posso prendere al primo membro la norma \(\|\cdot \|_\infty\)?

Mi pare di ricordare che in generale non lo posso fare e che c'è differenza tra \(p>N\) e \(p=N\)... Ma se la \(u\) so "a priori" che è limitata cambia qualcosa, no?

[s.stuv]

Allora... in generale \( W^{1,N}(\Omega) \) si immerge con continuità in tutti gli \( L^{q}(\Omega) \) per qualsiasi \( 1 \leq q < \infty \), ma non in \( L^{\infty}(\Omega) \), a meno che non sia \( N = 1 \). Quindi per \( p = N > 1 \) non lo potresti fare. Invece per \( p > N \) hai che una \( u \in W^{1,p}(\Omega) \) è \( \alpha \)-Holderiana con \( \alpha = 1 - \frac{N}{p} \), e quindi sicuramente puoi stimare
\[ \| u \|_{\infty} \leq C \| u \|_{W^{1,p}(\Omega)}. \]
Però la tua vale zero al bordo, e onestamente nemmeno io ricordo granché a parte la disuguaglianza che hai esplicitato tu, che tra l'altro coinvolge nel membro a destra solo il gradiente e non tutta la norma di Sobolev della funzione... In definitiva, direi che per \( p > N \) una stima del genere la puoi certamente fare a patto di maggiorare con tutta la norma di Sobolev, e non soltanto con il gradiente... per \( p = N \) non saprei... i classici controesempi sono sempre funzioni illimitate tipo loglog... Forse sapere a priori che è limitata può aiutare, ma si dovrebbe fare a mano. Non so quanto posso esserti stato utile con questi vaghi ricordi

[gugo82]

Chiarisco i contorni della questione e dico come ho risolto (almeno parzialmente, dato che credo si possa far meglio).

Ho una funzione \(V:\Omega \to [-\infty, \infty]\) misurabile e sufficientemente sommabile (in particolare \(V\in L^r(\Omega)\), con \(r>N/p\) se \(1 \[
\alpha (V):=\inf \left\{ \int_\Omega |\nabla u|^p + V\ |u|^p, \text{ con } u\in W_0^{1,p}(\Omega) \text{ e } \| u\|_p^p=1 \right\}\; .
\]
Chiaramente, basta trovare opportune condizioni sulla parte negativa di \(V\) perché, essendo:
\[
\int_\Omega |\nabla u|^p + V\ |u|^p \geq \int_\Omega |\nabla u|^p - V^-\ |u|^p
\]
per ogni \(u\in W_0^{1,p}(\Omega)\), si ha certamente \(\alpha (V)\geq \alpha (-V^-)\).

Ora, se \(1 \[
\|\nabla u\|_p^p \geq \gamma (p,N,\Omega)\ \| u\|_{p^*}^p\; ;
\]
d'altra parte, la disuguaglianza di Holder con esponente \(N/p>1\) fornisce "magicamente":
\[
\int_\Omega V^-\ |u|^p\leq \| V^-\|_{N/p}\ \| u\|_{p^*}^p\; ,
\]
dunque:
\[
\int_\Omega |\nabla u|^p - V^-\ |u|^p \geq \left( \gamma (p,N,\Omega) - \| V^-\|_{N/p}\right)\ \| u\|_{p^*}^p\; .
\]
Conseguentemente, dato che (sempre per Holder) \(\| u\|_{p^*}^p\geq \text{cost.}>0\), affinché \(\alpha(-V^-)>0\) è sufficiente che risulti \(\gamma (p,N,\Omega) > \| V^-\|_{N/p}\).

Nel caso \(p\geq N\) dando per scontato che non posso usare Sobolev, uso Poincaré per la minorazione un "po' più puzzosa":
\[
\| \nabla u\|_p^p\geq \theta (p,N,\Omega)\ \| u\|_p^p
\]
ed ho:
\[
\int_\Omega |\nabla u|^p - V^-\ |u|^p \geq \int_\Omega \left( \gamma (p,N,\Omega) - V^- \right)\ | u|^p
\]
dacché concludo che \(\alpha (-V^-)>0\) se \(\theta (p,N,\Omega) >\|V^-\|_\infty\). Tuttavia quest'ultima restrizione mi pare oltremodo restrittiva, giacché nel caso in esame, i.e. \(p\geq N\), sto prendendo \(V\in L^1\) o poco più.

Pertanto mi chiedevo se non fosse possibile una disuguaglianza un po' migliore per \(V^-\), dato che la norma \(L^\infty\) mi sta un po' stretta.