Disuguaglianza di Schwarz
Salve , qualcuno sa risolvere questo problema .
se : $(a)/(b - c)+ (b)/(c - a)+(c)/(a - b)= 0$
allora anche : $(a)/(b - c)^2 + (b)/(c - a)^2+ (c)/(a - b)^2= 0$
mi hanno suggerito di usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz ,
affermando che è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder .
ma i miei risultati sono molto infruttuosi .
se : $(a)/(b - c)+ (b)/(c - a)+(c)/(a - b)= 0$
allora anche : $(a)/(b - c)^2 + (b)/(c - a)^2+ (c)/(a - b)^2= 0$
mi hanno suggerito di usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz ,
affermando che è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder .
ma i miei risultati sono molto infruttuosi .
Risposte
Usare Cauchy-Schwarz sul problema così com'è mi sembra difficile... Infatti almeno uno degli addendi in \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\) è negativo, quindi se elevi al quadrato ti perdi l'informazione sul segno e d'altra parte non puoi sperare di usare le radici quadrate.
Quindi bisogna quasi certamente manipolare un po' le cose, anche se non so come.
Però con questi problemini di cavolicchio non sono mai stato bravo, quindi non demordere.
P.S.: Il problema è preso da qualche libro?
Quindi bisogna quasi certamente manipolare un po' le cose, anche se non so come.
Però con questi problemini di cavolicchio non sono mai stato bravo, quindi non demordere.
P.S.: Il problema è preso da qualche libro?
"Stellinelm":
mi hanno suggerito di usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz,
nota anche come disuguaglianza di Schwarz ,
affermando che è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder
Purtroppo non ho le conoscenze necessarie per usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (nè tantomeno ne conosco l'enunciato
) .. però forse mi è venuta un idea per risolvere ugualmente il tuo problema 
..vado a fare un 'ulteriore verifica sostituendo i numeri alle lettere e poi posto ..
a me sembra che cosi sia ok , però aspetta la conferma di persone più competenti
allora , prendi la prima e la moltiplichi per $1/(b-c)$, per $1/(c-a)$ e per $1/(a-b)$. Poi sommi le 3 equazioni. Se chiami S la somma che vuoi dimostrare essere nulla ottieni per ora
$S + \sum_{cyc}[b/((c-a)(b-c))+c/((a-b)(b-c))]=0$
rimane da dimostrare che la seconda somma è nulla, ma:
$\sum_{cyc}b/((c-a)(b-c))+\sum_{cyc}c/((a-b)(b-c))=\sum_{cyc}b/((c-a)(b-c))+\sum_{cyc}b/((c-a)(a-b))=$
$\sum_{cyc}[b/((c-a)(b-c))+b/((c-a)(a-b))]=\sum_{cyc}[b/(c-a)(1/(b-c)+1/(a-b))]=\sum_{cyc}[(b(a-c))/((c-a)(b-c)(a-b))]=$
$(\sum_{cyc}[b(a-c)])/((c-a)(b-c)(a-b))= (b(a-c)+c(b-a)+a(c-b) )/((c-a)(b-c)(a-b)]=0$
dove $\sum_{cyc}$ indica la somma sulle tre permutazioni cicliche di (a,b,c). I calcoli li puoi fare anche tranquillamente estendendo tutte le sommatorie.
allora , prendi la prima e la moltiplichi per $1/(b-c)$, per $1/(c-a)$ e per $1/(a-b)$. Poi sommi le 3 equazioni. Se chiami S la somma che vuoi dimostrare essere nulla ottieni per ora
$S + \sum_{cyc}[b/((c-a)(b-c))+c/((a-b)(b-c))]=0$
rimane da dimostrare che la seconda somma è nulla, ma:
$\sum_{cyc}b/((c-a)(b-c))+\sum_{cyc}c/((a-b)(b-c))=\sum_{cyc}b/((c-a)(b-c))+\sum_{cyc}b/((c-a)(a-b))=$
$\sum_{cyc}[b/((c-a)(b-c))+b/((c-a)(a-b))]=\sum_{cyc}[b/(c-a)(1/(b-c)+1/(a-b))]=\sum_{cyc}[(b(a-c))/((c-a)(b-c)(a-b))]=$
$(\sum_{cyc}[b(a-c)])/((c-a)(b-c)(a-b))= (b(a-c)+c(b-a)+a(c-b) )/((c-a)(b-c)(a-b)]=0$
dove $\sum_{cyc}$ indica la somma sulle tre permutazioni cicliche di (a,b,c). I calcoli li puoi fare anche tranquillamente estendendo tutte le sommatorie.
Susannap. Grazie.
Aspetterò una conferma di gugo82 o di altri .
Aspetterò una conferma di gugo82 o di altri .
$a/(b - c)^2 + b/(c - a)^2 + c/(a - b)^2=(1/(a - b) + 1/(b - c) + 1/(c - a))*(a/(b - c) + b/(c - a) + c/(a - b))$
Grazie per i vostri interventi.
p.s. : scusate se rispondo ora ma sono stata qualche giorno all'estero .
p.s. : scusate se rispondo ora ma sono stata qualche giorno all'estero .
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