Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger
Buongiorno a tutti, vi posto qui di seguito la dimostrazione della disuguaglianza di Poincarè-Wirtinger perché non riesco a capire un passaggio ! Tale disuguaglianza afferma che : "Dato "$ \Omega \subseteq \mathbb{R^n} $ aperto, limitato, lipschitziano e connesso, allora esiste una costante c positiva, dipendente da $\Omega$, tale che per ogni $ u \in W^{1,p} (\mathbb{R^n}) $ si ha
$ || u-(u)_{\Omega} ||_{L^p} \leq c ||Du||_{L^p} $ ".
La dimostrazione si fa per assurdo : poiché la tesi non è vera, esiste una successione ${u_n} \subseteq \mathbb{R^n} $ tale che
$|| u_n -(u_n)_{\Omega} ||_{L^p} > ||Du_n||_{L^p} $; indico con $w_n = u_n -(u_n)_{\Omega} $ e con $ \tilde{w_n} = \frac{w_n}{||w_n||_{L^p}}$, allora $(\tilde{w_n})_{\Omega}=0$, e la sua norma $L^p$ è $1$, quindi $ || \tilde{w_n}||_{L^p} > n ||D\tilde{w_n}||_{L^p} $, e quindi $ || \tilde{w_n} ||_{L^p}=1 , || D\tilde{w_n} ||_{L^p} < \frac{1}{n} $ che tende a zero.
In particolare $\tilde{w_n}$ è limitata in $ W^{1,p}( \Omega) $ e quindi ammette una sottosuccessione che converge in $L^p$ per il teorema di Rallich Kondrakov, sia tale sottosuccessione $\tilde{w_(nk)}$ e sia $\tilde{w}$ il suo limite in $L^p$.
QUI INIZIANO I MIEI PROBLEMI : come fa a dire il mio professore che la norma $L^p$ di questa sottosuccessione che è uguale a $1$ implica che anche la norma del suo limite è $1$? E come fa a dire che la derivata debole $ D\tilde{w_(nk)}$ tende a zero in $L^p$ ??? In questo modo dice che queste due cose implicano la convergenza della sottosuccessione nello spazio $W^{1,p}$ e $D\tilde{w}=0$, quindi poi si arriva ad un assurdo perché $\tilde{w}$ non può essere costante in quanto ha norma diversa da zero.
MILLE GRAZIE a chiunque mi toglierà questi problemi. Grazie e buona domenica a tutti.
$ || u-(u)_{\Omega} ||_{L^p} \leq c ||Du||_{L^p} $ ".
La dimostrazione si fa per assurdo : poiché la tesi non è vera, esiste una successione ${u_n} \subseteq \mathbb{R^n} $ tale che
$|| u_n -(u_n)_{\Omega} ||_{L^p} > ||Du_n||_{L^p} $; indico con $w_n = u_n -(u_n)_{\Omega} $ e con $ \tilde{w_n} = \frac{w_n}{||w_n||_{L^p}}$, allora $(\tilde{w_n})_{\Omega}=0$, e la sua norma $L^p$ è $1$, quindi $ || \tilde{w_n}||_{L^p} > n ||D\tilde{w_n}||_{L^p} $, e quindi $ || \tilde{w_n} ||_{L^p}=1 , || D\tilde{w_n} ||_{L^p} < \frac{1}{n} $ che tende a zero.
In particolare $\tilde{w_n}$ è limitata in $ W^{1,p}( \Omega) $ e quindi ammette una sottosuccessione che converge in $L^p$ per il teorema di Rallich Kondrakov, sia tale sottosuccessione $\tilde{w_(nk)}$ e sia $\tilde{w}$ il suo limite in $L^p$.
QUI INIZIANO I MIEI PROBLEMI : come fa a dire il mio professore che la norma $L^p$ di questa sottosuccessione che è uguale a $1$ implica che anche la norma del suo limite è $1$? E come fa a dire che la derivata debole $ D\tilde{w_(nk)}$ tende a zero in $L^p$ ??? In questo modo dice che queste due cose implicano la convergenza della sottosuccessione nello spazio $W^{1,p}$ e $D\tilde{w}=0$, quindi poi si arriva ad un assurdo perché $\tilde{w}$ non può essere costante in quanto ha norma diversa da zero.
MILLE GRAZIE a chiunque mi toglierà questi problemi. Grazie e buona domenica a tutti.
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