Disuguaglianza di Poincarè negli spazi di Sobolev

[Obionekenobi1]

Non riesco proprio a capire perchè in questa disuguaglianza si devono separare i casi p=1 e p>1: dai vari testi che ho usato sembra proprio che non si possano riunire. Qualcuno ha qualche idea in merito? Grazie.

[Obionekenobi1]

Mi spego meglio:
Disuguaglianza di Poincare
Sia I un intervallo limitato allora esiste una costante C
dipendente solo dalla misura di I, tale che $ AA u in W^{::}_0^(1,p) $
$ || u ||{::}_W^{::}_0^(1,p)<= C || u' ||{::}_(L^(p)) $


Dimostrazione
Sia I = (a, b) e quindi u(a) = u(b) = 0.
Se p = 1, allora

$ | u (x)|=| u(x)-u(a)|<=int_(a)^(x)|u(t)| dt $

da cui
$ || u ||{::}_(L^(1))<= C (b-a) || u' ||{::}_(L^(p)) $



Se poi p>1, allora
$ | u (x)|<=int_(a)^(x)|u(t)| dt $

e quindi la tesi, ricordando com'è definita la norma in questo tipo di spazi di Sobolev.

[Obionekenobi1]

Non so perchè le formule non funzionano più....bo.

[dissonance]

Mi pare che hai ragione, anche nei casi limite la disuguaglianza è formalmente uguale se usi il simbolo di norma. Ma è una cosa che ti serve principalmente per $p=2$, quindi anche se ti perdi i casi limite non fa niente.

[Obionekenobi1]

Penso di non aver capito cosa cerchi di dirmi: io dico che non capisco perchè la dimostrazione non si può fare senza isolare il caso p=1: cioè io la farei direttamente per ogni p. Tu sei daccordo? A che serve isolare il caso p=1, trattandolo come se fosse un caso a parte? A te sembra un caso a parte?

[dissonance]

Si può considerare un "caso a parte" perché è particolarmente più facile degli altri: non devi usare la disuguaglianza di Hoelder, ma solo le disuguaglianze

$|int_a^x u'(t)\, dt|\le \int_a^x|u'(t)|dt$

e

$\int_a^x|u'(t)|dt le \int_a^b |u'(t)|dt$.

Però è sostanzialmente sempre la stessa cosa, come dici tu. Quindi se ti senti più comodo puoi anche dimostrare direttamente il caso generale. (Anche perché nel 90% dei casi questa disuguaglianza ti serve con $p=2$).

[Obionekenobi1]

Grazie dissonance. Sei sempre molto chiaro nelle tue risposte.