Disuguaglianza di poincarè
Salve a tutti,
volevo chiedervi l'ultimo passaggio di questo teorema che non riesco a capire.
Teorema. Sia $U$ un insieme aperto e limitato di $\mathbb{R^{n}}$. Supponiamo che $u\in W_{o}^{1,p}(U)$ per qualche $1\leqp
Dimostrazione. Poichè $u\in W_{o}^{1,p}(U)$, esistono funzioni $u_{m}\in C^_{0}^{\infty}(U)$ che convergono ad $u$ in $W^{1,p}(U)$. Estendiamo ogni funzione $u_{m}$ in modo tale che valga $0$ su $\mathbb{R^{n}}-\overline{U}$. Sappiamo che vale la stima $||u||_{L^{p^\star}(\mathbb{R^{N}})}\leq C ||Du||_{L^{p}(\mathbb{R^{N}})}$, da cui segue che $||u||_{L^{p^\star}(U)}\leq C ||Du||_{L^{p}(U)}$. Poichè $U$ ha misura finita abbiamo che $||u||_{L^{q}(U)}\leq C ||Du||_{L^{p^\{star}}(U)}$ se $1\leqq\leqp^{\star}$.
Perchè vale l'ultimo rigo?Probabilmente esiste qualche inclusione che non conosco.
Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore? Grazie mille.
volevo chiedervi l'ultimo passaggio di questo teorema che non riesco a capire.
Teorema. Sia $U$ un insieme aperto e limitato di $\mathbb{R^{n}}$. Supponiamo che $u\in W_{o}^{1,p}(U)$ per qualche $1\leqp
Dimostrazione. Poichè $u\in W_{o}^{1,p}(U)$, esistono funzioni $u_{m}\in C^_{0}^{\infty}(U)$ che convergono ad $u$ in $W^{1,p}(U)$. Estendiamo ogni funzione $u_{m}$ in modo tale che valga $0$ su $\mathbb{R^{n}}-\overline{U}$. Sappiamo che vale la stima $||u||_{L^{p^\star}(\mathbb{R^{N}})}\leq C ||Du||_{L^{p}(\mathbb{R^{N}})}$, da cui segue che $||u||_{L^{p^\star}(U)}\leq C ||Du||_{L^{p}(U)}$. Poichè $U$ ha misura finita abbiamo che $||u||_{L^{q}(U)}\leq C ||Du||_{L^{p^\{star}}(U)}$ se $1\leqq\leqp^{\star}$.
Perchè vale l'ultimo rigo?Probabilmente esiste qualche inclusione che non conosco.
Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore? Grazie mille.
Risposte
Hai sicuramente sbagliato a scrivere, l'ultimo rigo dovrebbe essere
\[
\lVert u \rVert_{L^q}\le C\lVert D u\rVert_{L^p}\]
e si ottiene immediatamente dalla disuguaglianza
\[
\lVert u\rVert_{L^q}\le C_U \lVert u\rVert_{L^{p^\star}},\]
che è una conseguenza della disuguaglianza di Hoelder.
\[
\lVert u \rVert_{L^q}\le C\lVert D u\rVert_{L^p}\]
e si ottiene immediatamente dalla disuguaglianza
\[
\lVert u\rVert_{L^q}\le C_U \lVert u\rVert_{L^{p^\star}},\]
che è una conseguenza della disuguaglianza di Hoelder.
Si si...hai ragione, non ho scritto l'ultimo passaggio perchè mi sono bloccato a quello.
Perchè è una conseguenza di holder?come posso vederlo?
Perchè è una conseguenza di holder?come posso vederlo?
è un esercizio che devi saper fare da solo
prova a scrivere $u=u\cdot 1$
prova a scrivere $u=u\cdot 1$
risolto....bastava scegliere i coniugati giusti...
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