Disuguaglianza di Minkowski

[thedarkhero]

Provo a dimostrare la disuguaglianza di Minkowski attraverso due disuguaglianze intermedie.
Siano $1
Disuguaglianza (*): $t<=1/pt^p+1/q$, $AAt>=0$
Dimostrazione: Da $1/p+1/q=1$ si ricava $1/q=(p-1)/p$ quindi $t<=1/pt^p+1/q$ equivale a $t-1/pt^p<=(p-1)/p$.
Pongo $phi(t)=t-1/pt^p$, si ha $phi'(t)=1-t^(p-1)$ e $phi''(t)=-(p-1)t^(p-2)$.
$phi'(t)=0$ se e solo se $t=1$ e $phi''(1)=-(p-1)<0$ dunque $t=1$ è punto di massimo (assoluto?) e quindi $phi(t)<=phi(1)=1-1/p=(p-1)/p$ $AAt>=0$.
Tutto corretto?

Disuguaglianza (**): $st<=t^p/p+s^q/q$, $AAs,t>=0$
Penso ci sia un modo di ricavare questa disuguaglianza dalla precedente ma non mi viene in mente niente...

[Sk_Anonymous]

Così dovrebbe andare:

"Mettendo" \(\displaystyle \frac{t}{s^{\frac{1}{p-1}}}=\frac{t}{s^{q-1}}>0 \) al posto di \(\displaystyle t \) nella disuguaglianza che hai chiamato (*) ottieni \[\displaystyle \frac{t}{s^{q-1}} \le \frac{1}{q} + \frac{t^{p}}{s^{\frac{p}{p-1}}} \cdot \frac{1}{p} \] \[\displaystyle s^{1-q} \cdot t \le \frac{1}{q} + \left( \frac{t}{s^{\frac{1}{p-1}}} \right)^p \cdot \frac{1}{p} = \frac{1}{q} + \frac{t^p}{s^q} \cdot \frac{1}{q} \]*
Moltiplicando infine a destra e a manca per \(\displaystyle s^q >0 \) si ottiene proprio \[\displaystyle st \le \frac{s^q}{q} + \frac{t^p}{p} \]
__________________________
*Giacché \[\displaystyle \frac{1}{q} = 1 - \frac{1}{p}=\frac{p-1}{p} \] cioè \[\displaystyle q=\frac{p}{p-1} \]

Edit. Sistemato un po' l'aspetto estetico, ma fa tutto un po' schifo lo stesso.

[thedarkhero]

Grazie
Unica cosa...nel passaggio finale dopo aver messo $t/s^(q-1)$ nella disuguaglianza (*) si ottiene $1/q+t^p/s^q*1/p$.
Io avevo pensato di sfruttare il fatto che tutti i termini delle disuguaglianze sono quantità positive per concludere che $st<=(t^p/p+1/q)(1/p+s^q/q)$ ma poi non riesco a raffinare ulteriormente la disuguaglianza quindi tengo per buona la tua soluzione
Ora da questa disuguaglianza come posso dedurre che $<=||x||_p||y||_q$?

[Sk_Anonymous]

"thedarkhero":[...]
Ora da questa disuguaglianza come posso dedurre che $<=||x||_p||y||_q$?

Escludendo i casi banali, partiamo dal prodotto scalare con i vettori normalizzati \[\displaystyle x'=\frac{x}{\|x\|_{p}}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} e_{i} \quad \text{e} \quad y'=\frac{y}{\|y\|_{q}}=\sum_{i=1}^{n}y_{i} e_{i} \]
Si ha \[\displaystyle |\langle x' | y' \rangle | = \left| \sum_{i=1}^{n} \overline{x_{i}}y_{i} \right| \le \sum_{i=1}^{n} |x_{i}||y_{i}| \]
usando poi la disuguaglianza appena provata si ha \[\displaystyle \sum_{i=1}^{n} |x_{i}||y_{i}| \le \sum_{i=1}^{n} \left[\frac{|x_{i}|^p}{p} + \frac{|y_{i}|^q}{q} \right]=\frac{\|x' \|_{p}^{p}}{p} + \frac{\|y' \|_{q}^{q}}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \]
Utilizzando infine la bilinearità del prodotto scalare si osserva che \[\displaystyle |\langle x' | y' \rangle | = \frac{|\langle x| y \rangle |}{\|x\|_{p} \|y\|_{q}} \le 1 \] ossia \[\displaystyle |\langle x| y \rangle | \le \|x\|_{p} \|y\|_{q} \]
Questa disuguaglianza prende il nome di disuguaglianza di Hölder. Ti rimane da provare che vale \[\displaystyle \|x+y\|_{p} \le \|x \|_{p} + \|y \|_{p} \] con \(\displaystyle x, y \in \mathbb{C}^n \).

[thedarkhero]

Grazie mille!
Provo a generalizzarla per tutti i vettori di $RR^n$.
Se $x$ o $y$ sono il vettore nullo allora la disuguaglianza di Minkowski si riduce a $0<=||x||_p||y||_q$ che è ovviamente verificata.
Siano $x$,$y$ vettori non nulli. Allora:
$<=||=||x||_p||y||_q||=$
$=||x||_p||y||_q|\sum_{i=1}^n x_i/||x||_py_i/||y||_q|<=||x||_p||y||_q\sum_{i=1}^n |x_i/||x||_py_i/||y||_q|=||x||_p||y||_q\sum_{i=1}^n |x_i|/||x||_p|y_i|/||y||_q<=$
$||x||_p||y||_q\sum_{i=1}^n((|x_i|/||x||_p)^p/p+(|y_i|/||y||_q)^q/q)=$
$=||x||_p||y||_q(sum_{i=1}^n(|x_i|/||x||_p)^p/p+sum_{i=1}^n(|y_i|/||y||_q)^q/q)=$
$=||x||_p||y||_q(((sum_{i=1}^n|x_i|^p)/||x||_p^p)/p+((sum_{i=1}^n|y_i|^q)/||y||_q^q)/q)=$
$=||x||_p||y||_q(((||x||_p^p)/||x||_p^p)/p+((||y||_q^q)/||y||_q^q)/q)=$
$=||x||_p||y||_q(1/p+1/q)=||x||_p||y||_q$

[Sk_Anonymous]

Che è in sostanza quanto ho fatto anch'io. L'aver utilizzato vettori normalizzati è solo un trucchetto ma, se ben guardi, il risultato è del tutto generale

[thedarkhero]

Certo, ho infatti semplicemente esteso la dimostrazione che hai fatto tu al caso di vettori generici di $RR^n$
L'unica cosa che non ho mantenuto è il prodotto scalare che tu avevi considerato in maniera più generale come un prodotto scalare hermitiano su $C^n$ mentre io ho considerato il caso particolare del prodotto scalare euclideo su $RR^n$, ma si tratta semplicemente di aggiungere un coniugio