Disuguaglianza di lipschitzianità

[Angus1956]

Posto $d(x,A)=text{inf}_(ainA)d(x,a)$ con $AsubeX$, mostrare che per ogni $x,x_0inX$ vale:
$|d(x,A)-d(x_0,A)|<=d(x,x_0)$
Allora ho fatto così:
Siano $d(x,\hat a)=text{inf}_(ainA)d(x,a)$ e $d(x_0,\bar a)=text{inf}_(ainA)d(x_0,a)$. Supponiamo $d(x,\hat a)>=d(x_0,\bar a)$, allora abbiamo che:
$|d(x,\hat a)-d(x_0,\bar a)|=d(x,\hat a)-d(x_0,\bar a)$, per definizione di estremo inferiore si ha che $d(x,\hat a)<=d(x,\bar a)$, per cui $d(x,\hat a)-d(x_0,\bar a)<=d(x,\bar a)-d(x_0,\bar a)$ e usando la disuguaglianza triangolare abbiamo che $d(x,\bar a)-d(x_0,\bar a)<=d(x,x_0)$.
Adesso supponiamo che $d(x_0,\bar a)>=d(x,\hat a)$, allora abbiamo che:
$|d(x,\hat a)-d(x_0,\bar a)|=|d(x_0,\bar a)-d(x,\hat a)|=d(x_0,\bar a)-d(x,\hat a)<=d(x_0,\hat a)-d(x,\hat a)<=d(x,x_0)$. Può andar bene?

[otta96]

No perchè nessuno ti garantisce che esistano tali elementi che realizzano l'inf.

[dissonance]

Però ci sei quasi. Mi ricordo anni fa frequentai un corso di calcolo delle variazioni. Il professore disse che in queste cose conviene sempre assumere prima che esistano elementi che realizzano l'inf. Poi ci sarà tempo per rimuovere questa restrizione.

@andrea: invece di \(d(x, \hat a)=\inf_a d(x, a)\), devi metterci degli epsilon: \(d(x, \hat a_\epsilon)\le\inf_a d(x, a)+\epsilon\) eccetera eccetera. Rifai tutto il ragionamento e alla fine manda \(\epsilon\to 0\).

[Angus1956]

Aspettate, sul fatto che non esiste un elemento che relalizzi l'estremo inferiore intendete tipo come quando se prendo l'intervallo $(a,b]$ che ha come estremo inferiore $a$ ma $anotin(a,b]$?

[otta96]

Esatto tipo così.

[Angus1956]

Ho capito, quindi mi basta usare la caratterizzazione dell'estremo inferiore (ovvero $AAepsilon>0$ $EE\hat ainA$ tale che $d(x,\hat a)

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