Disuguaglianza di Holder

[sangi89]

Salve a tutti, non riesco a capire un passaggio della dimostrazione della disuguaglianza di Holder.
Allora sia $u in (L^p)(X)$, $X$ insieme misurabile e $v in (L^p)(X)$, con $1/p + 1/q=1$ e $X in L(R^n)$
Applico la disuguaglianza di Young

$(|u|/||u||_p) *(|v|/||v||_p) <=(|u|^p/(p(||u||_p)^p))+(|v|^q/(q(||v||_q)^q))$

Ora integrando:

$\int ((|u|/||u||_p) *(|v|/||v||_p)) <= ((\int|u|^p)/(p(||u||_p)^p))+((\int|v|^q)/(q(||v||_q)^q))$

Ora non capisco come faccia a rimanermi al secondo membro solo $1/p + 1/q$

Potreste aiutarmi?

[walter891]

se conosci la definizione di una p-norma la risposta è banale

[sangi89]

la p-norma di u è data da $(\int (|u|^p))^(1/p)$ , quindi non la posso semplificare con il termine al numeratore perchè mi manca l'elevamento $^(1/p)$

[walter891]

però al denominatore non hai solo la norma... c'è anche un elevamento a $p$ che rende uguali le due quantità

[sangi89]

oh porca miseria non ci avevo completamente fatto caso!!! Grazie mille!!!
Posso fare quì stesso una domanda sulla sua applicazione nella disuguaglianza di minkwosky? mi manco giusto quel pezzetto di dimostrazione, mi sarò distratta a lezione

[walter891]

dunque il mio prof l'aveva fatta così (saltando alcuni passaggi): $||u+v||_p^p<=int|u||u+v|^(p-1)+int|v||u+v|^(p-1)<=||u||_p||u+v||_p^(p-1)+||v||_p^p||u+v||_p^(p-1)$ applicando Holder con $q=p/(p-1)$ poi dividi per $||u+v||_p^(p-1)$ e ottieni la disuguaglianza mi Mikovsky

[sangi89]

mmm potresti per favore aggiungere i passaggi?