Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ( Spazio preHilbertiano)

[***1117]

Salve ragazzi , devo dimostrare tale disuguaglianza ed ho un piccolo dubbio , scrivo cosa ho fatto

SIano due vettori $x$ e $y$ $\in \mathbb{H}$ , $r$ $\in \mathbb{R}$ e $\alpha$ $\in$ $\mathbb{C}$ : $|\alpha|=1$

Valuto : $\ \=\ -r\alpha\ -r\bar{\alpha}\+r^2\alpha^2\$
E cosi via..

Bene non ho capito questo passaggio ( i restanti conti si ) ;

Io sò chè $\=\sum (x-r\alpha y)\bar{(x-r\alpha y)}=$ Quale sarebbe il coniugato di $(x-r\alpha y)$ ?Forse $(x+r\alpha y)$ ? Ma cosi facendo non mi risultano i conti...

Grazie in anticipo per l'aiuto

[Emar1]

"MillesoliSamuele":Io sò chè $\=\sum (x-r\alpha y)\bar{(x-r\alpha y)}=$

Se \(\mathbb{H}\) è un generico spazio pre-hilbertiano [nota]un parolone complicato per dire che è uno spazio dotato di prodotto scalare, a priori non completo[/nota] il prodotto scalare \(\langle \cdot,\cdot \rangle: \mathbb{H} \times \mathbb{H} \to \mathbb{C}\) è un applicazione che soddisfa i seguenti assiomi[nota]A seconda dei testi la forma può essere lineare nella prima o nella seconda variabile[/nota]:
[list=i]
[*:1ma0x9w2]\(\langle x,x \rangle \ge 0, \langle x,x \rangle = 0 \iff x = 0\)[/*:m:1ma0x9w2]
[*:1ma0x9w2]\(\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}\)[/*:m:1ma0x9w2]
[*:1ma0x9w2]\(\langle \alpha x + \beta y,z \rangle =\alpha \langle x,z \rangle + \beta \langle y,z \rangle\)[/*:m:1ma0x9w2][/list:o:1ma0x9w2]

Questo è ciò che ti basta e che conferisce generalità al teorema.

Nel tuo caso abbiamo:
\[\langle x - r\alpha y,x - r\alpha y \rangle = \langle x,x - r\alpha y \rangle -r\alpha \langle y,x - r\alpha y \rangle\]
avendo applicato la $iii$.
\[=\overline{\langle x - r\alpha y,x \rangle} - r\alpha\overline{\langle x - r\alpha y, y \rangle}\]
Avendo applicato la $ii$.
\[=\overline{\langle x,x \rangle} - \overline{r\alpha \langle y,x \rangle} - r\alpha \overline{\langle x, y\rangle} + r\alpha\overline{[ r\alpha \langle y, y \rangle]}\]
Avendo usato ancora la $iii$.
\[=\langle x,x \rangle - r\overline{\alpha} \langle x,y \rangle - r\alpha \overline{\langle x, y\rangle} + r^2|\alpha|^2\langle y, y \rangle\]
avendo applicato la $iii$.

Ripeto, tutti i passaggi fatti discendono solo dalle proprietà del prodotto scalare e non dal particolare prodotto scalare utilizzato.

_______________

Se vogliamo concretizzare possiamo ad esempio prendere lo spazio vettoriale \(\mathbb{C}^n\) munito del prodotto scalare standard, ovvero:
\[\langle x,y \rangle := \sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}\]

Oppure \(\mathbb{R}^n\) munito del prodotto scalare euclideo, ovvero:
\[\langle x,y \rangle := \sum_{i=1}^n x_i y_i\]

O ancora lo spazio delle funzioni continue \(C([0,1],\mathbb{R})\) munito del prodotto scalare:
\[\langle f,g \rangle := \int_0^1fg\]

La disuguaglianza vale per tutti questi spazi a prescindere la come il prodotto è definito, l'importante è che sia coerente con gli assiomi $i,ii,iii$.

Ti ho risposto?

[***1117]

"Emar": Ti ho risposto?

Eccome se mi hai risposto , Grazie mille hai risolto ogni mia minima perplessità , sei stato fantastico

[Emar1]

È stato un piacere!