Disuguaglianza di Bessel

[adrenalinico]

Salve a tutti!
Non mi è chiaro il seguente passaggio che porta alla disuguaglianza di Bessel:

$||x(t)||^2>=Tsum_(k=-n)^n|C_k|^2$, da cui, facendo $lim_n->oo$ risulta:

$||x(t)||^2>=Tsum_(k=-oo)^oo|C_k|^2$, che è la disuguaglianza di Bessel.

Mi chiedo: se il termine a secondo membro della prima disuguaglianza è una serie a termini positivi, come si prova che facendo $lim->oo$, è valida la seconda disuguaglianza?
Ciao e grazie!

[squalllionheart]

Gli estremi del secondo membro della prima disugualianza, hanno come inizio -n e n come fine.
Sbattendo al limite gli estremi sono più e meno infinito solo per il semplice motivo che sostituisci. Il fatto che ci sia un modulo, e che renda positiivi anche i termini negativi non ti cambia nulla.
Cioè sommerai termini positivi sia per k positivi che per k negativi...
Se nn sono stata esaustiva dimmelo... cercherò di essere più comprensibile.

[adrenalinico]

"squalllionheart":Gli estremi del secondo membro della prima disugualianza, hanno come inizio -n e n come fine.
Sbattendo al limite gli estremi sono più e meno infinito solo per il semplice motivo che sostituisci. Il fatto che ci sia un modulo, e che renda positiivi anche i termini negativi non ti cambia nulla.
Cioè sommerai termini positivi sia per k positivi che per k negativi...
Se nn sono stata esaustiva dimmelo... cercherò di essere più comprensibile.

Se non ho capito male il (semplice) ragionamento è questo:
n non è fissato, può quindi assumere qualsiasi valore, quindi nente mi vieta di portarlo a più o meno infinito...è così?
Ciao, Nicola

[squalllionheart]

si n varia... nn è costante o scelto in modo arbitrario...

[gugo82]

"adrenalinico":Salve a tutti!
Non mi è chiaro il seguente passaggio che porta alla disuguaglianza di Bessel:

$||x(t)||^2geTsum_(k=-n)^n|C_k|^2$, da cui, facendo $lim_n->oo$ risulta:

$||x(t)||^2geTsum_(k=-oo)^oo|C_k|^2$, che è la disuguaglianza di Bessel.

Mi chiedo: se il termine a secondo membro della prima disuguaglianza è una serie a termini positivi, come si prova che facendo $lim->oo$, è valida la seconda disuguaglianza?
Ciao e grazie!

Se usi i quantificatori e ti ricordi che la somma di una serie a termini positivi è l'estremo superiore delle somme parziali risulta tutto più chiaro.
Insomma hai:

$AAn in NN,quad ||x(t)||^2geTsum_(k=-n)^n|C_k|^2$

quindi la successione delle somme parziali "simmetriche" $Tsum_(k=-n)^n|C_k|^2$ è superiormente limitata (e perciò convergente) e $||x(t)||^2$ è un maggiorante: ne consegue che:

$Tsum_(k=-oo)^oo|C_k|^2=lim_(n)Tsum_(k=-n)^n|C_k|^2="sup"_(nin NN)" "Tsum_(k=-n)^n|C_k|^2le ||x(t)||^2$,

che è la disuguaglianza di Bessel.
Facile.