Disuguaglianza da dimostrare...
Buonasera a tutti!
Mi è stato proposto questo problema:
Siano \( a, b, p \ \in \mathbb{R} \) con \( p \ge 1 \) . Dimostrare che \( |ta+(1-t)b|^p \le t|a|^p+(1-t)|b|^p \) con \( 0 \le t \le 1 \) . In particolare, \( |a+b|^p \le 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p) \) .
Ho un frullato di idee in testa: disuguaglianze, norme, funzioni omogenee, combinazioni convesse... ma non sono riuscito ad arrivare ad un punto di conclusione
Senza chiedere la soluzione (almeno per il momento
), qualcuno avrebbe un suggerimento su quale sia la strada da seguire per concludere?
Grazie in anticipo!
Mi è stato proposto questo problema:
Siano \( a, b, p \ \in \mathbb{R} \) con \( p \ge 1 \) . Dimostrare che \( |ta+(1-t)b|^p \le t|a|^p+(1-t)|b|^p \) con \( 0 \le t \le 1 \) . In particolare, \( |a+b|^p \le 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p) \) .
Ho un frullato di idee in testa: disuguaglianze, norme, funzioni omogenee, combinazioni convesse... ma non sono riuscito ad arrivare ad un punto di conclusione
Senza chiedere la soluzione (almeno per il momento
), qualcuno avrebbe un suggerimento su quale sia la strada da seguire per concludere?Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao ale311,
Così ad occhio mi sembra il secondo membro della disuguaglianza di Jensen elevato alla $p >= 1 $:
$f(tx_1 + (1 - t)x_2) <= tf(x_1) + (1 - t)f(x_2) $
posto $ a := f(x_1) $ e $b := f(x_2) $, prendendo i moduli ed elevando tutto alla $p >= 1 $ si ha:
$|f(tx_1 + (1 - t)x_2)|^p <= |ta + (1 - t)b|^p <= \abs{ta}^p + \abs{(1 - t)b}^p <= t\abs{a}^p + (1 - t)\abs{b}^p $
per $0 <= t <= 1 $
Nel caso particolare $t = 1/2 $ si ha proprio
$ |a/2 + b/2|^p <= 1/2 \abs{a}^p + 1/2 \abs{b}^p $
$ |(a + b)/2|^p <= (|a|^p+|b|^p)/2 $
$ |a + b|^p <= 2^p (|a|^p+|b|^p)/2 = 2^{p - 1} (|a|^p+|b|^p) $
Così ad occhio mi sembra il secondo membro della disuguaglianza di Jensen elevato alla $p >= 1 $:
$f(tx_1 + (1 - t)x_2) <= tf(x_1) + (1 - t)f(x_2) $
posto $ a := f(x_1) $ e $b := f(x_2) $, prendendo i moduli ed elevando tutto alla $p >= 1 $ si ha:
$|f(tx_1 + (1 - t)x_2)|^p <= |ta + (1 - t)b|^p <= \abs{ta}^p + \abs{(1 - t)b}^p <= t\abs{a}^p + (1 - t)\abs{b}^p $
per $0 <= t <= 1 $
Nel caso particolare $t = 1/2 $ si ha proprio
$ |a/2 + b/2|^p <= 1/2 \abs{a}^p + 1/2 \abs{b}^p $
$ |(a + b)/2|^p <= (|a|^p+|b|^p)/2 $
$ |a + b|^p <= 2^p (|a|^p+|b|^p)/2 = 2^{p - 1} (|a|^p+|b|^p) $
La disuguaglianza è la definizione di funzione convessa applicata alla potenza $p$-esima.
Puoi usare una delle qualsiasi tecniche viste in Analisi I per la convessità.
Per maggiori info, vedi (ad esempio) qui.
Puoi usare una delle qualsiasi tecniche viste in Analisi I per la convessità.
Per maggiori info, vedi (ad esempio) qui.
La disuguaglianza è la definizione di funzione convessa applicata alla potenza $p$-esima...
...del valore assoluto.
"otta96":La disuguaglianza è la definizione di funzione convessa applicata alla potenza $p$-esima...
...del valore assoluto.
Capirai...
Eh lo so.... però...
Grazie a tutti!
Effettivamente con la disuguaglianza di Jensen è tutto così facile, peccato che non ne avessi mai sentito parlare prima d'ora!
Mi stavo scervellando ad applicare il teorema del valor medio per funzioni di più variabili, ma non combinavo molto!
Le funzioni convesse non sono state trattate dal docente, ma ora ci stiamo avvicinando alla teoria di massimi e minimi per cui magari siamo in zona...
Speriamo bene, terrò sicuramente da conto delle soluzioni proposte!
Effettivamente con la disuguaglianza di Jensen è tutto così facile, peccato che non ne avessi mai sentito parlare prima d'ora!
Mi stavo scervellando ad applicare il teorema del valor medio per funzioni di più variabili, ma non combinavo molto!
Le funzioni convesse non sono state trattate dal docente, ma ora ci stiamo avvicinando alla teoria di massimi e minimi per cui magari siamo in zona...
Speriamo bene, terrò sicuramente da conto delle soluzioni proposte!
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