Disuguaglianza con log

[Erdos1]

Dimostrare che per \(\displaystyle x>0 \) vale
\(\displaystyle \ln x \leq x-1 \)

Disegnando i grafici si vede chiaramente, ma vorrei un metodo più formale, potete consigliarmene uno?

[chisigma]

E'...

$\ln (1+t) = t - \frac{t^{2}}{2} + ... \le t$ (1)

... per cui ponendo $1+t=x$ la (1) diviene...

$\ln x \le x-1$ (2)

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Erdos1]

La ringrazio, ma avrei ancora una domanda.
Ho visto "ad occhio" che l'uguale vale nel caso in cui \(\displaystyle x=1 \), come potrei ricavarlo?

[chisigma]

Per x=1 e' $\ln x = x-1 = 0$...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Erdos1]

Molte grazie, saluti.

[gugo82]

Se non vuoi usare Taylor, basta osservare che provare la tua disuguaglianza equivale a dimostrare che la funzione ausiliaria:
\[
\phi (x) := \begin{cases} \frac{\log x}{x-1} &\text{, se } x\neq 1\\
1 &\text{, se } x=1 \end{cases}
\]
è limitata in \(\mathbb{R}\).
Ciò si può provare facendo un banalissimo studio di funzione e determinando il massimo di \(\phi\).

[ralf86]

"gugo82":Se non vuoi usare Taylor, basta osservare che provare la tua disuguaglianza equivale a dimostrare che la funzione ausiliaria:
\[
\phi (x) := \begin{cases} \frac{\log x}{x-1} &\text{, se } x\neq 1\\
1 &\text{, se } x=1 \end{cases}
\]
è limitata in \(\mathbb{R}\).
Ciò si può provare facendo un banalissimo studio di funzione e determinando il massimo di \(\phi\).

Non sarebbe allora più comodo fare lo studio di funzione di $f(x)=x-1-log(x)$ per $x>0$ ?

[gugo82]

Anche.

[totissimus]

Oppure più elementarmente applicando il th. di Lagrange alla funzione \( f(t)=log(t)\).

Per \( 0
\(\displaystyle -log(x)=log(1)-log(x)=\frac{1-x}{\xi}>1-x\) con \( x<\xi<1\)

da cui \( \displaystyle log(x)
Per \( 1
\( \displaystyle log(x)=log(x)-log(x)=\frac{x-1}{\xi}

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