Disuguaglianza che non mi so proprio spegare

[chimi1]

Salve ragazzi! Come avrete capito dal titolo, ho un problema con un passaggio di una dimostrazione importante (che il prof non ha fatto a lezione), e vorrei capirlo bene. Ci sto pensando da un sacco,ma non riesco ad uscirne
Riguarda il modulo di continuità, secondo me serve qualche proprietà che io ignoro

Sia $\psi$ una funzione il cui gradiente $D\psi$ abbia modulo di continuità $\sigma(r)$ e sia $L$ la parte lineare di $\psi$ in $x_0$, ovvero sia

$L(x)=\psi(x_0)+D\psi(x_0)(x-x_0)$,$\forall x\in B_{r}(x_0)$.

Il passaggio che non mi è chiaro è il seguente:

\[
L(x)-r\sigma(r)\leq \psi(x).
\]
Equivalentemente, devo provare che
\[
\psi(x_0)+D\psi(x_0)(x-x_0)-r\sigma(r)\leq \psi(x).
\]

Io avevo provato in questo modo:
\[
\psi(x)- \frac{\psi(x)-\psi(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0) + D\psi(x_0)(x-x_0)-r\sigma(r)\leq \psi(x).
\]
Ovvero, aggiungo e sottraggo $\psi(x)$ al primo membro e poi faccio comparire un rapporto incrementale che vorrei far andar via assieme a $D\psi(x)(x-x_0)$. Il problema è che non so come riuscire a far ciò. Mi spiego meglio.

Ponendo per semplicità $\Delta \psi(x,x_0)=\frac{\psi(x)-\psi(x_0)}{x-x_0}$ ho

\[
\psi(x)+ [\Delta \psi(x,x_0)-D\psi(x_0)](x-x_0)-r\sigma(r)\leq \psi(x)
\]

Ora, io so che $D\psi$ ha modulo di continuità $\sigma(r)$, dunque, se avessi una cosa del tipo $D\psi(x)-D\psi(x_0)$ (essendo $x$ in $B_r(x_0)$) saprei concludere che tale quantità è maggiorata da $\sigma(r)$, il problema è che ho un rapporto incrementale invece che una derivata vera. Avevo pensato anche di sfruttare il fatto che per $x\to x_0$ si ha $\Delta\psi(x,x_0)\to D\psi(x_0)$, ma ciò mi darebbe un controllo solo vicino ad $x_0$ e non su tutta la palla $B_r(x_0)$, che mi consigliate di fare?

[Rigel1]

Per il Teorema di Lagrange, dati \(x_0\) e \(x\) esiste \(\xi \in ]x_0, x[\) tale che
\[
\psi(x) = \psi(x_0) + \nabla \psi(\xi) \cdot (x-x_0).
\]
Il secondo membro può essere riscritto come
\[
\psi(x_0) + \nabla \psi(x_0) \cdot (x-x_0) + (\nabla \psi(\xi) - \nabla \psi(x_0))\cdot (x-x_0)
= L(x) + (\nabla \psi(\xi) - \nabla \psi(x_0))\cdot (x-x_0),
\]
da cui
\[
|\psi(x) - L(x)| \leq |\nabla \psi(\xi) - \nabla \psi(x_0)|\cdot |x-x_0| \leq |x-x_0| \sigma (|x-x_0|).
\]
(Nell'ultimo passaggio ho assunto, come di consueto, che il modulo di continuità sia una funzione crescente.)

[chimi1]

Grazie infinite Rigel, sei stato chiarissimo!!!