Disuguaglianza

[Obionekenobi1]

So che $ sum_(i = 1)^(k)|c{::}_(i)-x{::}_(i)^((r))|^p leq (epsilon/4)^p <(epsilon/4)^p $. Conoscendo la nota identità per cui $ |a+b|^p leq2^p(|a|^p+|b|^p) $ , come faccio a ricavare che $ sum_(i = 1)^(k)|c{::}_(i)|leq epsilon^p +||x{::}^((r))|| $. Grazie.

[pater46]

Adotti tanti simboli diversi.. senza specificarne l'identità.

p è un parametro reale? o naturale? o reale positivo?
ed $\epsilon$? che è?
ed $x^(r)$? cosa sarebbe? prima c'era $x_i^(r)$

[Obionekenobi1]

$ epsilon>0 $ . Inoltre $ p leq 1 $ e p è reale. $ x{::}_(i)^((r)) $ è l'i-esimo termine nella sommatoria, dove l'indice r si riferisce al fatto che la sommatoria viene da una che soddisfa il criterio di Cauchy. Inoltre, ma penso che lo si capiva dal contesto, la norma in questione è una norma lp. C'è qualche altra cosa di non chiaro? Questa cosa mi serve per capire la dimostrazione che ha fatto il mio prof. del fatto che lp è completo. Posto anche l'indirizzo del file dove si trova la dimostrazione
http://www.megaupload.com/?d=YCAY12BE

[gugo82]

"Obionekenobi":Posto anche l'indirizzo del file dove si trova la dimostrazione
http://www.megaupload.com/?d=YCAY12BE

Libro del prof. Fiorenza... Riconosco la grafia.
Ottima scelta.

"Obionekenobi":So che $ sum_(i = 1)^(k)|c{::}_(i)-x{::}_(i)^((r))|^p leq (epsilon/4)^p <(epsilon/4)^p $. Conoscendo la nota identità per cui $ |a+b|^p leq2^p(|a|^p+|b|^p) $ , come faccio a ricavare che $ sum_(i = 1)^(k)|c{::}_(i)|leq epsilon^p +||x{::}^((r))|| $. Grazie.

La dimostrazione, sostanzialmente non si discosta da quella che ti ho fornito due giorni fa (che non so se hai nemmeno letto, visto che hai lasciato cadere questo thread nel dimenticatoio...), però è un po' diversa formalmente.

Si tratta solo di applicare la disuguaglianza da te citata, previo aver sommato e sottratto qualcosa nel valore assoluto: infatti (riprendendo la notazione del Fiorenza) è:

[tex]$|\lambda_i|^p=|(\lambda_i-x_i^{(r)})+x_i^{(r)}|^p \leq 2^p (|\lambda_i-x_i^{(r)}|^p+|x_i^{(r)}|^p)$[/tex]

(s'è preso [tex]$a=\lambda_i-x_i^{(r)}$[/tex] e [tex]$b=x_i^{(r)}$[/tex] nella "nota disuguaglianza" -che non è un'identità... -) e sommando i membri esterni per [tex]$i=1,\ldots ,k$[/tex] risulta:

[tex]$\sum_{i=1}^k |\lambda_i|^p \leq 2^p \sum_{n=1}^k |\lambda_i-x_i^{(r)}|^p+2^p \sum_{n=1}^k |x_i^{(r)}|^p \leq 2^p\left( \frac{\varepsilon}{2}\right)^p +2^p\lVert x^{(r)}\rVert^p = \varepsilon^p +2^p \lVert x^{(r)}\rVert^p$[/tex]

quindi prendendo il limite per [tex]$k\to +\infty$[/tex]:

[tex]$\lVert \lambda \rVert^p \leq \varepsilon^p +2^p \lVert x^{(r)}\rVert^p <+\infty$[/tex]

e perciò [tex]$\lambda \in \ell^p$[/tex].

Qui abbiamo scoperto che c'è un piccolo errore sul testo: infatti quel fattore [tex]$2^p$[/tex] davanti a [tex]$\lVert x^{(r)}\rVert^p$[/tex] non si può "buttare a mare". Ma d'altra parte la sua presenza non infastidisce, giacché queste maggiorazioni ti servono essenzialmente per stabilire che [tex]$\lVert \lambda \rVert^p<+\infty$[/tex], quindi fintantoché il maggiorante rimane finito non ci sono problemi.

[Obionekenobi1]

Io lo avevo fatto uguale a te, solo che ci ho pensato una giornata intera. Ma non ne ero sicuro, visto che mi sembrava strano trovare un errore sul Fiorenza. Comunque grazie per la conferma. Ho un'altra domanda sulla stessa dimostrazione. Perchè se $ ||c-x^((r))|| < epsilon AA r > ni $ , si può concludere che $ c=lim x^((n)) $ , e invece il limite non è fatto di x^((r)), cioè $ c=lim x^((r)) $? Ti ricordo che $ x^((n)) $ è il punto di lp così fatto: $ x^((n))=(x{::}_(1)^((n)),....,x{::}_(k)^((n)),..) $ . Grazie.

[gugo82]

Vabbè, [tex]$r$[/tex], [tex]$n$[/tex], che differenza fa?

Il nome dell'indice non fa differenza, perchè l'operazione di passaggio al limite lo "satura" (cioè lo rende un indice muto, come la variabile sotto il segno d'integrale).

Ad esempio sai che se scrivi [tex]$\int_0^1 f(x)\ \text{d} x$[/tex] o [tex]$\int_0^1 f(y)\ \text{d} y$[/tex] non c'è differenza nel risultato; allo stesso modo, se scrivessi [tex]$\lim_{x\to +\infty} f(x)$[/tex] o [tex]$\lim_{y\to +\infty} f(y)$[/tex] vedresti differenza nel risultato?

[Obionekenobi1]

Grazie gugo. La tua risposta è interessante, ma devo dedurre che questa proprietà vale solo in spazi di dimensione infinita come lp?