Disuguaglianza

[matrix1]

Non ricordo dove l'ho presa, comunque la propongo:

Dati due numeri reali A,B tali che:
1- 0<= A <= pi/2
2- 0<= B <= pi/2
3- (cos(A))^2 + (cos(B))^2 >= 1
dimostrare che:
A+B <= pi/2

..:: MatriX ::..

[fireball1]

cos²A + cos²B >= 1

1 - sin²A + cos²B >= 1

cos²B >= sin²A ==> cos B >= sin A

1 - sin²B >= sin²A

sin²A + sin²B <= 1

E siccome una somma di quadrati non può mai essere negativa, dovrà essere:

0 <= sin²A + sin²B <= 1

quindi: sinA•cosB + sinB•cosA <= 1 , cioè sin(A+B) <=1

da cui A+B <= arcsin 1 ===> A+B <= pi/2

Ma sento che c'è qualcosa che non va...

Modificato da - fireball il 11/04/2004 11:29:49

[matrix1]

Il tuo ragionamento mi sembra corretto, anche se non mi è ben chiaro come sei assivato a scrivere (sinAcosB+sinBcosA)<=1.

Io ho fatto così :

1) cosB>=sinA
2) cosA>=sinB

essendo cosA, cosB, sinA, sinB tutte quantità positive o nulle (0<=A,B<=pi/2) moltiplico le 1) e 2) membro a membro ottenendo:

3) cosBcosA-sinAsinB>=0 ==> cos(A+B)>=0 ==> A+B<=pi/2

E' corretto ?

Ciao.

[fireball1]

Aspettiamo le valutazioni di qualcun altro.

[Maverick2]

io noterei subito che se A+B=pi/2, allora (cosA)^2+(cosB)^2=1
perciò se A e B scendono la somma dei coseni quadri sale, ma non appena A e B salgono la somma dei coseni scende in contraddizione con la terza ipotesi.



Modificato da - Maverick il 11/04/2004 21:11:18