Disuguaglianza

[dennysmathprof]

se [tex]f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R},\ f>0,[/tex] è una funzione continua in \([a,b]\), dimostrare che

[tex]\displaystyle{\int\limits_a^b {\ln \left( {f(x)} \right)dx} \le \left( {b - a} \right) \cdot \ln \left( {\frac{1}{{b - a}}\int

\limits_a^b {f(x)dx} } \right)}[/tex]

[Rigel1]

Si tratta di un caso particolare della classica disuguaglianza di Jensen. Se nessun altro si cimenta, inserirò io una rapida dimostrazione.

[gugo82]

La disuguaglianza di Jensen asserisce che:

Siano \((X,\mu)\) uno spazio di misura con \(\mu(X)=1\) e \(\Phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una funzione convessa.
Per ogni \(f:X\to \mathbb{R}\) integrabile rispetto a \(\mu\) si ha:
\[
\tag{J} \Phi \left(\int_X f\ \text{d} \mu\right) \leq \int_X \Phi \circ f\ \text{d} \mu\; .
\]
In (J) vale la disuguaglianza inversa se \(\Phi\) è concava.

Consideriamo l'intervallo \(X:=[a,b]\) con \(a \[
\mu (E) := \frac{1}{\mathcal{L}^1(X)}\ \mathcal{L}^1 (E) = \frac{1}{b-a}\ \mathcal{L}^1 (E)\; .
\]
Comunque si fissi \(f\in L^1(a,b)\), per (J) si ottiene:
\[
\Phi\left( \int_a^b f\ \frac{1}{b-a}\ \text{d}\mathcal{L}^1\right) \geq \int_a^b \Phi \circ f\ \frac{1}{b-a}\ \text{d}\mathcal{L}^1
\]
ossia:
\[
(b-a)\ \Phi\left( \int_a^b f\ \frac{1}{b-a}\ \text{d}\mathcal{L}^1\right) \geq \int_a^b \Phi \circ f\ \text{d}\mathcal{L}^1
\]
per ogni scelta di \(\Phi\) concava. La disuguaglianza proposta segue dalla precedente prendendo \(\Phi (t):=\log t\) e \(f>0\) q.o. in \([a,b]\).