Disuguaglianza

[dennysmathprof]

se [tex]f: [a,b]\rightarrow R ,f\in C^2,concava ,f{'}(a)>0, f(a)b=af(b).[/tex]

Dimostrate che [tex]\cfrac{f(b)-f(a)}{lnb-lna}\le \cfrac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}[/tex]

qualche idea ? ho provato di mettere x=b per fare una funzione g(x) e dimostrare [tex]g(b)\ge 0[/tex]

[Rigel1]

Chiaramente deve essere \(a > 0\). Definiamo
\[
\lambda := \frac{f(a)}{a} = \frac{f(b)}{b}\qquad \text{(l'uguaglianza vale per ipotesi)}.
\]
Supponiamo inoltre che \(\lambda > 0\) (probabilmente questa è l'ipotesi corretta, non \(f'(a) > 0\)).
Poiché \(f\) è concava si ha \(f(x) \geq \lambda x\) per ogni \(x\in [a,b]\); avremo dunque che
\[
\frac{1}{b-a}\int_a^b f \geq \frac{f(b)+f(a)}{2} = \lambda\, \frac{b+a}{2}\,,
\]
per cui è sufficiente dimostrare che
\[
(1) \qquad \frac{b-a}{\log(b/a)} \leq \frac{b+a}{2}.
\]
Dividiamo per \(a\) e poniamo \(t := b/a > 1\). La disuguaglianza (1) diviene
\[
g(t) := 2(t-1) - (t+1)\log(t) \leq 0\qquad (t>1).
\]
Quest'ultima disuguaglianza si verifica facilmente osservando che \(g(1) = g'(1) = 0\) e \(g''(t) = (1-t)/t^2 \leq 0\) per ogni \(t\geq 1\).

[dennysmathprof]

Grazie mille Rigel , buon anno

nel libro ce [tex]f{'}(a)>0[/tex], forse per sbaglio

e chiede ancora che succede se f convessa e[tex]f{'}(a)<0[/tex]

[Rigel1]

"dennysmathprof":nel libro ce [tex]f{'}(a)>0[/tex], forse per sbaglio

Direi che si può fare un controesempio (con calcoli da controllare...).
Consideriamo la funzione, dipendente da un parametro \(\epsilon > 0\):
\[
f_{\epsilon}(x) := \epsilon (\sqrt{x-1+\epsilon^2} - \epsilon) (2-x) - x,\qquad x\in [1,2].
\]
Tale funzione soddisfa le proprietà date (compresa \(f'_{\epsilon}(1) = 1/2 > 0\)); in questo caso, però,
\[
\lambda := \frac{f(2)}{2} = \frac{f(1)}{1} = -1.
\]
D'altra parte, per \(\epsilon\to 0\) si ha
\[
\frac{1}{b-a}\int_a^b f_{\epsilon} \to \int_1^2 (-x) dx = -\frac{3}{2}\,,\qquad
\frac{f_{\epsilon}(2) - f_{\epsilon}(1)}{\log(2)} = -\frac{1}{\log(2)} \simeq -1.4427 > -1.5.
\]
Per avere un controesempio basta quindi prendere \(\epsilon >0\) sufficientemente piccolo.

e chiede ancora che succede se f convessa e[tex]f{'}(a)<0[/tex]

Vedi un po' che succede: basta girare qualche disuguaglianza e supporre \(\lambda < 0\) (che in questo caso penso sia l'ipotesi corretta al posto di \(f'(a) < 0\)).

[gugo82]

"dennysmathprof":nel libro ce [tex]f{'}(a)>0[/tex], forse per sbaglio

e chiede ancora che succede se f convessa e[tex]f{'}(a)<0[/tex]

Che libro è?

[dennysmathprof]

Octavian Stanasila -Alexandrescu bucharest (romania)