Disugaglianza triangolare
allora quando il professore mi manderà alla lavagna e mi dirà di dirgli la disuguaglianza triangolare io partirò dicendo:
$w=u+iv$ $z=x+iy$
$|w+z|^2=(w+z)(w+z)^*=ww*+wz^*+w^*z+zz*=|w|^2+wz^*+w^*z+|z|^2$
poiche $wz^*+w^*z= xu+yu+i(xv-yu)+xu+yv+i(yu-xv)=$ e qui magri a parte comunque li sviluppo e faccio vedere!
ora trovo questo passsaggio:
$wz^*+zw^*=2R(wz^*)<=2|wz^*|$ ovvero? che come trovo da quanto sviluppato prima il $2xu$ sia 2volte la parte reale ok ma che significato ha la disuguaglianza?
$w=u+iv$ $z=x+iy$
$|w+z|^2=(w+z)(w+z)^*=ww*+wz^*+w^*z+zz*=|w|^2+wz^*+w^*z+|z|^2$
poiche $wz^*+w^*z= xu+yu+i(xv-yu)+xu+yv+i(yu-xv)=$ e qui magri a parte comunque li sviluppo e faccio vedere!
ora trovo questo passsaggio:
$wz^*+zw^*=2R(wz^*)<=2|wz^*|$ ovvero? che come trovo da quanto sviluppato prima il $2xu$ sia 2volte la parte reale ok ma che significato ha la disuguaglianza?
Risposte
per esempio la puoi vedere così:
quando sommi 2 vettori in un piano il vettore risultante ha il modulo che come valore massimo ha la somma dei moduli dei due addendi. In particolare se i due vettori sono paralleli e hanno lo stesso verso hai il caso dell'uguale. Se l'angolo tra loro è diverso da zero invece il modulo del vettore risultante è più piccolo...prova a farti un disegnino sul foglio vedrai che capisci subito cosa vuol dire.
quando sommi 2 vettori in un piano il vettore risultante ha il modulo che come valore massimo ha la somma dei moduli dei due addendi. In particolare se i due vettori sono paralleli e hanno lo stesso verso hai il caso dell'uguale. Se l'angolo tra loro è diverso da zero invece il modulo del vettore risultante è più piccolo...prova a farti un disegnino sul foglio vedrai che capisci subito cosa vuol dire.
"Disuguaglianza triangolare": è il solito teorema che si studia in prima liceo: dato un triangolo, la somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato. Viene raffinato fino agli spazi di funzioni, ma sotto sotto è sempre Euclide.
$2 Re(wbarz) = 2(ux+vy) $ non soltanto $ 2xu$ ; è poi sempre vero che $ Re (alpha)<= |alpha| $ , $AA alpha inCC $
uhm chiedo scusa se ritorno su questo argomento ma dopo averci a lungo pensato penso di poter formulare la domanda:
allora presa la disuguaglianza indicata con 1
la elevo al quadrato e procedo con tutti i passaggi algebrici fino al punto 2 senza nessun problema, è tutto chiaro e dimostrato!
al punto 3 sorge il primo problema, non tanto per i calcoli che come vedete al punto 4 è tutto dimostrato e ho anche verificato la disuguaglianza, ma il problema sta nel fatto del perchè porre la relazione della disuguaglianza? ovvero perchè dopo tutti i conti fatti che mi dicono che ho $2Re(wbarz)$ questo cede il posto al valore della disuguaglianza?
ok poi che ottengo il doppio prodotto e si verifica la disuguaglianza triangolare! il mio problema è solo di capire perchè la due volte parte reale cede il posto a 2 volte il modulo!!! come mai? spero di essere stato chiaro.
allora presa la disuguaglianza indicata con 1
la elevo al quadrato e procedo con tutti i passaggi algebrici fino al punto 2 senza nessun problema, è tutto chiaro e dimostrato!
al punto 3 sorge il primo problema, non tanto per i calcoli che come vedete al punto 4 è tutto dimostrato e ho anche verificato la disuguaglianza, ma il problema sta nel fatto del perchè porre la relazione della disuguaglianza? ovvero perchè dopo tutti i conti fatti che mi dicono che ho $2Re(wbarz)$ questo cede il posto al valore della disuguaglianza?
ok poi che ottengo il doppio prodotto e si verifica la disuguaglianza triangolare! il mio problema è solo di capire perchè la due volte parte reale cede il posto a 2 volte il modulo!!! come mai? spero di essere stato chiaro.
Deriva dal fatto che $Re(w\barz)\le|w\barz|$, Perché hai $xu+yv\le\sqrt(u^2+v^2)\sqrt(x^2+y^2)$ dimostrabile, per esempio, elevando al quadrato, $x^2u^2+y^2v^2+2xuvy\le u^2x^2+u^2y^2+v^2x^2+v^2y^2\implies u^2y^2+v^2x^2-2xuvy=(uy-vx)^2\ge0$, sempre vera, essendo un quadrato.
ok e fin qui ci sono che la $Re(wbarz)<=|wbarz|$ mi sta bene! ma perchè la $Re(wbarz)$ lascia il posto alla $|wbarz|$ questa è la mia domanda insomma mi ritrovo a fare i conti che mi danno un risultato rappresentato da $Re(wbarz)$ e poi me ne frego e uso un'altra cosa! che senso ha?
Ha senso per arrivare alla conclusione voluta. Ha trovato il supremo di $Re(w\barz)$ e lo inserisce nella equazione iniziale, per ricavare la disuguaglianza.
Si beh effettivamente per arrivare alla soluzione l'unica cosa che ha senso è prendere il $2|wbarz|$ se no mancherebbe il doppio prodotto
grazie per le info Tom
grazie per le info Tom
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