Distribuzioni temperate a supporto compatto & Fourier

[Ska1]

Salve a tutti,

vorrei sapere se qualcuno sa indicarmi come poter dimostrare che data una distribuzione temperata $u \in S'$ a supporto compatto, la sua trasformata di Fourier sia una funzione $C^\infty$.

Io son partito diciamo dalla definizione classica di trasformata di fourier per le distribuzioni temperate, quindi $\forall v \in S$

$<\hat u, v> = = \int u(x) \hat v(x)dx$

considerando poi $\zeta = 1$ in un aperto contente il supporto di $u$, risulta

$\int u(x) \hat v(x)dx = \int u(x) \zeta(x)\hat v(x)dx = \int u(x) \zeta(x) ( \int v(\xi) e^{-i \xi \cdot x}d\xi)dx$

scambiando gli integrali

$\int v(\xi)( \int u(x) e^{-i \xi \cdot x}dx)d\xi = < ,v>$

da cui si può concludere (sempre che fino a qui non ci siano errori concettuali) che $\hat u(\xi) = (\xi)$, ed essendo $$ un numero che dipende da $\xi$, direi che questa è una funzione....


Ora sempre che questo sia corretto.... come vedere il fatto che sia $C^\infty$?!

[ViciousGoblin]

"Ska":Salve a tutti,

vorrei sapere se qualcuno sa indicarmi come poter dimostrare che data una distribuzione temperata $u \in S'$ a supporto compatto, la sua trasformata di Fourier sia una funzione $C^\infty$.

Io son partito diciamo dalla definizione classica di trasformata di fourier per le distribuzioni temperate, quindi $\forall v \in S$

$<\hat u, v> = = \int u(x) \hat v(x)dx$

considerando poi $\zeta = 1$ in un aperto contente il supporto di $u$, risulta

$\int u(x) \hat v(x)dx = \int u(x) \zeta(x)\hat v(x)dx = \int u(x) \zeta(x) ( \int v(\xi) e^{-i \xi \cdot x}d\xi)dx$

scambiando gli integrali

$\int v(\xi)( \int u(x) e^{-i \xi \cdot x}dx)d\xi = < ,v>$

da cui si può concludere (sempre che fino a qui non ci siano errori concettuali) che $\hat u(\xi) = (\xi)$, ed essendo $$ un numero che dipende da $\xi$, direi che questa è una funzione....


Ora sempre che questo sia corretto.... come vedere il fatto che sia $C^\infty$?!

Ciao il procedimento che hai seguito e' giusto. Va pero' detto che il bracket per cui puoi dimostrare formula

$\hat u(\xi) = (\xi)$

non e' quello della dualita' $ S',S$ (nota che $e^{-i\xi\cdot x}$ non e' in $S$), ma quello della dualita' $E', E$ dove $E= C^\infty$ e $\phi_n\to \phi$ in $E$ se e solo se $\phi_n^{(k)}\to\phi^{(k)}$ uniformemente $forall k$
(e allora devi pre-dimostrare che le distribuzioni a supporto compatto coincidono con $E'$).

A questo punto cio' che ti manca e' un teorema di "derivazione sotto il segno di bracket", che dovrebbe seguire facilmente dal fatto che, se $\phi\in E$, allora per ogni $k$
${\phi^{(k)}(x+h)-\phi^{(h)}(x)}/h\to\phi^{(k+1)}(x)$ uniformemente.

[Ska1]

Sul libro che sto usando come riferimento non è stato esplicitato questo spazio di distribuzioni le cui funzioni test sono funzioni $C^\infty$, ci sono dei teoremi relativi alle distribuzioni a supporto compatto che possono essere applicate a funzioni $C^\infty$, introducendo la funzione $\zeta$ pari a 1 in un aperto contente il supporto della distribuzione in modo tale da rendere $\zeta v$ una funzione in $D$. Cmq ho capito.

Per l'ultima cosa che hai detto, intendi per caso dimostrare che ad esempio con $\hat u(\xi) = ()(\xi)$

$(\partial \hat u)/(\partial \xi_j) = $ $\forall j$.

quindi iterando il procedimento con altre derivazione posso continuare all'infinito poichè ciò che effettivamente derivo è la funzione $C^\infty$?

[ViciousGoblin]

"Ska":Sul libro che sto usando come riferimento non è stato esplicitato questo spazio di distribuzioni le cui funzioni test sono funzioni $C^\infty$, ci sono dei teoremi relativi alle distribuzioni a supporto compatto che possono essere applicate a funzioni $C^\infty$, introducendo la funzione $\zeta$ pari a 1 in un aperto contente il supporto della distribuzione in modo tale da rendere $\zeta v$ una funzione in $D$. Cmq ho capito.,

Oltre a poter applicare una distribuzione a supporto compatto $u$ a un $\phi$ in $C^\infty$ serve sapere che $\phi_n^{(k)}\to \phi^{(k)}$ uniformemente per ogni $k$ implica
$\to$ (cosa che non e' difficile ricavare dalle definizioni).

Per l'ultima cosa che hai detto, intendi per caso dimostrare che ad esempio con $\hat u(\xi) = ()(\xi)$

$(\partial \hat u)/(\partial \xi_j) = $ $\forall j$.

quindi iterando il procedimento con altre derivazione posso continuare all'infinito poichè ciò che effettivamente derivo è la funzione $C^\infty$?

Intendevo proprio questo (usando quanto ho scritto sopra)

[Ska1]

Ok, grazie mille.