Distribuzioni: densità di $C^\infty$ in $\mathcal{D}$
Ciao, ho un dubbio concettuale sulla dimostrazione del teorema citato in oggetto.
La dimostrazione che possiedo dice:
prendo una successione di compatti $K_j$ che invada tutto $\Omega$. Sicuramente per ogni $j$ posso trovare una funzione $\chi_j \in C_0^\infty (\Omega)$ che in $K_j$ valga $1$. Se $u \in \mathcal{D}(\Omega)$ si ha che $\chi_j u$ è a supporto compatto. Prendiamo un convolutore $\varphi$ e regolarizziamola con $\epsilon=1/j$, ottenendo $u_j = (\chi_j u)*\varphi_{1/j}$ [convoluzione].
Dopo di che dimostra che $u_j to u$.
Ciò che non comprendo è che per le proprietà della convoluzione, per andare a finire in $C^\infty$ basterebbe fare la regolarizzazione di $u$, cioè usare $u_j=u * \varphi_{1/j}$... perchè si usa $\chi_j$ ?
Paola
La dimostrazione che possiedo dice:
prendo una successione di compatti $K_j$ che invada tutto $\Omega$. Sicuramente per ogni $j$ posso trovare una funzione $\chi_j \in C_0^\infty (\Omega)$ che in $K_j$ valga $1$. Se $u \in \mathcal{D}(\Omega)$ si ha che $\chi_j u$ è a supporto compatto. Prendiamo un convolutore $\varphi$ e regolarizziamola con $\epsilon=1/j$, ottenendo $u_j = (\chi_j u)*\varphi_{1/j}$ [convoluzione].
Dopo di che dimostra che $u_j to u$.
Ciò che non comprendo è che per le proprietà della convoluzione, per andare a finire in $C^\infty$ basterebbe fare la regolarizzazione di $u$, cioè usare $u_j=u * \varphi_{1/j}$... perchè si usa $\chi_j$ ?
Paola
Risposte
Di solito si fa così per una questione di supporto. Se regolarizzi direttamente [tex]u[/tex] non hai garanzia che il supporto della regolarizzata sia contenuto in [tex]\Omega[/tex].
Comunque non ho capito cosa vuoi dimostrare... [tex]C^\infty[/tex] non è contenuto in [tex]\mathcal{D}[/tex] a meno che non usiamo simboli diversi: per me [tex]\mathcal{D}[/tex] è lo spazio delle funzioni [tex]C^\infty[/tex] a supporto compatto e dotato della particolare topologia "delle funzioni test". Semmai quindi è [tex]\mathcal{D}[/tex] ad essere contenuto in [tex]C^\infty[/tex], tuttavia non mi pare sia denso, per questioni topologiche...
Comunque non ho capito cosa vuoi dimostrare... [tex]C^\infty[/tex] non è contenuto in [tex]\mathcal{D}[/tex] a meno che non usiamo simboli diversi: per me [tex]\mathcal{D}[/tex] è lo spazio delle funzioni [tex]C^\infty[/tex] a supporto compatto e dotato della particolare topologia "delle funzioni test". Semmai quindi è [tex]\mathcal{D}[/tex] ad essere contenuto in [tex]C^\infty[/tex], tuttavia non mi pare sia denso, per questioni topologiche...
è che sono una torda e mi sono dimenticata l'apice ogni volta che ho scritto $\mathcal{D}$, chiedo venia.
Comunque ho capito la questione del supporto di cui parli, grazie!
Paola
Comunque ho capito la questione del supporto di cui parli, grazie!
Paola
Ah certo, non ci ho proprio pensato! C'è anche un altro motivo che ti porta a moltiplicare per [tex]\chi_j[/tex], allora. La convoluzione è definita solo tra oggetti definiti in tutto [tex]\mathbb{R}^N[/tex], nel tuo caso coppie di distribuzioni tra cui almeno una con il supporto compatto: in particolare non si può parlare di convoluzione tra distribuzioni definite in un aperto [tex]\Omega[/tex] proprio.
Ora se le due distribuzioni coinvolte hanno il supporto compatto, ed è il caso delle tue [tex]$\chi_j u, \Phi_{1\over j}[/tex], l'ostacolo si può aggirare perché esse sono prolungabili a distribuzioni definite su tutto [tex]\mathbb{R}^N[/tex]: una delle proprietà delle distribuzioni a supporto compatto è proprio quella di ammettere un prolungamento banale. Così, parlando di [tex]\chi_j u[/tex], puoi sottointendere che ti riferisci al relativo prolungamento banale e applicare la convoluzione.
Ma non tutte le distribuzioni ammettono un prolungamento banale: per queste, niente convoluzione.
Questo argomento è spiegato bene sul libro di Gilardi Analisi 3, terzo capitolo, definizione 12.5 (unica nota stonata: l'autore parla di prolungamento triviale, classico errore di traduzione
).
Ora se le due distribuzioni coinvolte hanno il supporto compatto, ed è il caso delle tue [tex]$\chi_j u, \Phi_{1\over j}[/tex], l'ostacolo si può aggirare perché esse sono prolungabili a distribuzioni definite su tutto [tex]\mathbb{R}^N[/tex]: una delle proprietà delle distribuzioni a supporto compatto è proprio quella di ammettere un prolungamento banale. Così, parlando di [tex]\chi_j u[/tex], puoi sottointendere che ti riferisci al relativo prolungamento banale e applicare la convoluzione.
Ma non tutte le distribuzioni ammettono un prolungamento banale: per queste, niente convoluzione.
Questo argomento è spiegato bene sul libro di Gilardi Analisi 3, terzo capitolo, definizione 12.5 (unica nota stonata: l'autore parla di prolungamento triviale, classico errore di traduzione
).
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