Distribuzioni
Salve ragazzi. Sto studiando le distribuzioni ed ho trovato i primi problemi nel capire bene alcune definizioni che da il mio libro. Ad esempio ho cercato su internet la definizione di funzionale lineare ed ho capito che un funzionale lineare è un applicazione che va da uno spazio vettoriale $V$ ad uno spazio di scalari $K$. Cioè è una funzione che ad ogni elemento di $V$ associa uno scalare dello spazio $K$. E fin qui ci sono. Il problema è che il mio libro da una definizione con l'integrale per poi introdurre le distribuzioni. Ma da dove esce fuori? Qualcuno sarebbe cosi gentile da chiarire questi miei dubbi?
Risposte
Quella dell'integrale è solo una notazione, non si tratta di un integrale definito puntualmente. Per vedere la definizione precisa di distribuzione basta che guardi sullo Schwartz.
Paola
Paola
Ciao prime. Grazie per aver risposto. Purtroppo non ho quel libro. Potresti linkarmi un sito dove è spiegato bene per favore?
Innanzitutto, ricordiamo che:
La proprietà di linearità è molto studiata in Algebra Lineare e, come già saprai, ha parecchie conseguenze astratte (ad esempio, se \(f\) è lineare allora è necessariamente \(f(0_V)=0\), l'insieme \(\{u\in V:\ f(u)=0\}\) è un sottospazio di \(V\), etc...).
Ad esempio, se prendiamo \(V=C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) (che è uno spazio vettoriale infinito dimensionale su \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)) e notiamo che comunque scelta una funzione \(f\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)\) l'integrale:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} f\ u
\]
è finito per ogni \(u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) (invero, essendo \(u\) nulla fuori da un compatto "grosso" \(K\), si ha \(|\int_{\mathbb{R}^N} f\ u|=|\int_K f\ u|\leq \int_K |f\ u|\leq \max_K |u|\ \int_K |f|<+\infty\) per il teorema di Weierstrass e la locale integrabilità di \(f\)), allora possiamo definire il funzionale:
\[
F:C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto \int_{\mathbb{R}^N} f\ u \in \mathbb{R}
\]
che si chiama funzionale generato da \(f\); tale funzionale è lineare perchè, per le proprietà dell'integrale di Lebesgue, si ha:
\[
F(\alpha u+\beta v)= \int_{\mathbb{R}^N} f\ (\alpha u+\beta v) = \alpha \int_{\mathbb{R}^N} f\ u +\beta \int_{\mathbb{R}^N} f\ v = \alpha\ F(u)+\beta\ F(v)
\]
per ogni \(u,v\in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) ed \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\).
D'altra parte, non è necessario usae un integrale per definire un funzionale lineare... Infatti, sempre sullo stesso spazio di prima è possibile definire:
\[
\delta :C_c^\infty (\mathbb{R}^N) \ni u \mapsto u(0)\in \mathbb{R}
\]
ed è molto semplice dimostrare che tale funzionale, che sia chiama delta di Dirac, è lineare.
***
Perchè come esempi abbiamo preso proprio un funzionali definiti su uno spazio vettoriale di funzioni?
Beh, perchè vogliamo fare Analisi Matematica e non Algebra Lineare!
E, visto che vogliamo fare Analisi, una cosa da introdurre nel gioco è certamente una definizione di limite... Perchè l'Analisi, in ultima analisi (
), è tutta basata sulle nozioni di "convergenza" e di "limite", le quali a loro volta possono essere usate per definire la "continuità" e la "differenziabilità".
Prendiamo sempre il nostro bello spazio \(C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) e chiediamoci se è possibile definire un'adeguata nozione di convergenza, almeno per le successioni, in questo spazio; quello che vogliamo fare è trovare un modo per definire su \(C_c(\mathbb{R}^N)\) un analogo del simbolo \(x_n\to x_0\) di cui ben conosciamo il significato ("intuitivo" e non) nel caso in cui gli \(x_n\) ed \(x_0\) siano numeri reali (o complessi).
Come facciamo?
Chiaramente, aver definito una nozione di convergenza per le successioni di \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) ti consente adesso di parlare di continuità (sequenziale) delle funzioni definite su \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\).
In particolare:
A questo punto, possiamo finalemte definire cos'è una distribuzione.
N.B.: La proprietà i ti consente di rilassare la ii: infatti si prova facilmente che \(F\) è una distribuzione se e solo se valgono la i e la:
jj. \(F\) è continuo sulla funzione nulla (i.e., si ha \(F(u_n)\to F(0)=0\) per ogni \(u_n \stackrel{C_c^\infty}{\longrightarrow} 0\)).
In maniera molto semplice si può dimostrare che ogni funzionale lineare del tipo:
\[
F(u) := \int_{\mathbb{R}^N} f\ u
\]
generato da una funzione \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) è una distribuzione; analogamente, si può dimostrare che la delta di Dirac è una distribuzione.
Tuttavia c'è una sostanziale differenza tra \(\delta\) e le distribuzioni del tipo di \(F\), ossia quelle distribuzioni generate da funzioni \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\): la differenza è riassunta qui di seguito:
Le distribuzioni che sono generate da funzioni \(L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) vengono di solito chiamate distribuzioni regolari; mentre quelle, come la delta di Dirac, che non sono generate da alcuna funzione localmente integrabile si chiamano distribuzioni singolari. La proposizione appena richiamata ci dice che esistono distribuzioni singolari e che la delta di Dirac è una di queste.
Ora, però, gli ingegneri (che sono praticoni), hanno pensato: "Vabbé, ma il simbolo d'integrale è troppo comodo per non usarlo anche per denotare le distribuzioni singolari!"
E per questo, con grosso abuso di notazione, tutti i testi di ingegneria usano per la delta di Dirac una rappresentazione simbolica di tipo integrale, i.e. scrivono:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} \delta\ u \qquad \text{al posto di} \qquad \delta (u)\; .
\]
Ovviamente, per la proposizione riportata sopra, il simbolo ingegneristico è del tutto privo di significato formale; esso è solamente utile in quanto consente di fare rapidamente certi passaggi che altrimenti sarebbero un po' più difficili da ricordare.
Assegnato uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\), un funzionale lineare è una funzione \(F:V\to \mathbb{K}\) tale che:
\[
\forall u,v\in V,\ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{K},\ F(\alpha u+\beta v)=\alpha\ F(u)+\beta\ F(v)\; .
\]
La proprietà di linearità è molto studiata in Algebra Lineare e, come già saprai, ha parecchie conseguenze astratte (ad esempio, se \(f\) è lineare allora è necessariamente \(f(0_V)=0\), l'insieme \(\{u\in V:\ f(u)=0\}\) è un sottospazio di \(V\), etc...).
Ad esempio, se prendiamo \(V=C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) (che è uno spazio vettoriale infinito dimensionale su \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)) e notiamo che comunque scelta una funzione \(f\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)\) l'integrale:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} f\ u
\]
è finito per ogni \(u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) (invero, essendo \(u\) nulla fuori da un compatto "grosso" \(K\), si ha \(|\int_{\mathbb{R}^N} f\ u|=|\int_K f\ u|\leq \int_K |f\ u|\leq \max_K |u|\ \int_K |f|<+\infty\) per il teorema di Weierstrass e la locale integrabilità di \(f\)), allora possiamo definire il funzionale:
\[
F:C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto \int_{\mathbb{R}^N} f\ u \in \mathbb{R}
\]
che si chiama funzionale generato da \(f\); tale funzionale è lineare perchè, per le proprietà dell'integrale di Lebesgue, si ha:
\[
F(\alpha u+\beta v)= \int_{\mathbb{R}^N} f\ (\alpha u+\beta v) = \alpha \int_{\mathbb{R}^N} f\ u +\beta \int_{\mathbb{R}^N} f\ v = \alpha\ F(u)+\beta\ F(v)
\]
per ogni \(u,v\in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) ed \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\).
D'altra parte, non è necessario usae un integrale per definire un funzionale lineare... Infatti, sempre sullo stesso spazio di prima è possibile definire:
\[
\delta :C_c^\infty (\mathbb{R}^N) \ni u \mapsto u(0)\in \mathbb{R}
\]
ed è molto semplice dimostrare che tale funzionale, che sia chiama delta di Dirac, è lineare.
***
Perchè come esempi abbiamo preso proprio un funzionali definiti su uno spazio vettoriale di funzioni?
Beh, perchè vogliamo fare Analisi Matematica e non Algebra Lineare!
E, visto che vogliamo fare Analisi, una cosa da introdurre nel gioco è certamente una definizione di limite... Perchè l'Analisi, in ultima analisi (
), è tutta basata sulle nozioni di "convergenza" e di "limite", le quali a loro volta possono essere usate per definire la "continuità" e la "differenziabilità".Prendiamo sempre il nostro bello spazio \(C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) e chiediamoci se è possibile definire un'adeguata nozione di convergenza, almeno per le successioni, in questo spazio; quello che vogliamo fare è trovare un modo per definire su \(C_c(\mathbb{R}^N)\) un analogo del simbolo \(x_n\to x_0\) di cui ben conosciamo il significato ("intuitivo" e non) nel caso in cui gli \(x_n\) ed \(x_0\) siano numeri reali (o complessi).
Come facciamo?
Diciamo che una successione \((u_n)\subseteq C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) tende a \(u\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) se e solo se:
1. i supporti delle \(u_n\) sono tutti contenuti in uno stesso "grosso" compatto \(K\);
2. tutte le successioni di tutte le derivate parziali di ogni ordine delle \((u_n)\) tendono uniformemente in \(\mathbb{R}^N\) alle corrispondenti derivate parziali della \(u\);
in simboli:
\[
u_n\stackrel{C_c^\infty}{\longrightarrow} u \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases} \operatorname{supp} u_n \subseteq K &\text{, per ogni } n \text{ e per almeno un "grosso" compatto } K\\ D^a u_n \to D^a u \text{ uniformemente in } \mathbb{R}^N &\text{, per ogni multiindice } a.\end{cases}
\]
Chiaramente, aver definito una nozione di convergenza per le successioni di \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) ti consente adesso di parlare di continuità (sequenziale) delle funzioni definite su \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\).
In particolare:
Si dice che un'applicazione \(\Phi\) definita su \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) (qualsiasi!) è continua in \(u\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) se e solo se risulta:
\[
\lim_n \Phi (u_n) =\Phi (u)
\]
per ogni possibile successione \((u_n)\subseteq C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) tale che \(u_n\stackrel{C_c^\infty}{\longrightarrow} u\).
A questo punto, possiamo finalemte definire cos'è una distribuzione.
Un funzionale \(F:C_c^\infty (\mathbb{R}^N) \to \mathbb{R}\) è chiamato distribuzione se e solo se:
i. \(F\) è lineare;
ii. \(F\) è continuo in ogni \(u\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\).
N.B.: La proprietà i ti consente di rilassare la ii: infatti si prova facilmente che \(F\) è una distribuzione se e solo se valgono la i e la:
jj. \(F\) è continuo sulla funzione nulla (i.e., si ha \(F(u_n)\to F(0)=0\) per ogni \(u_n \stackrel{C_c^\infty}{\longrightarrow} 0\)).
In maniera molto semplice si può dimostrare che ogni funzionale lineare del tipo:
\[
F(u) := \int_{\mathbb{R}^N} f\ u
\]
generato da una funzione \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) è una distribuzione; analogamente, si può dimostrare che la delta di Dirac è una distribuzione.
Tuttavia c'è una sostanziale differenza tra \(\delta\) e le distribuzioni del tipo di \(F\), ossia quelle distribuzioni generate da funzioni \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\): la differenza è riassunta qui di seguito:
Non esiste alcuna funzione \(d\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)\) tale che:
\[
\delta (u) = \int_{\mathbb{R}^N} d\ u
\]
per ogni \(u\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\).
Le distribuzioni che sono generate da funzioni \(L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) vengono di solito chiamate distribuzioni regolari; mentre quelle, come la delta di Dirac, che non sono generate da alcuna funzione localmente integrabile si chiamano distribuzioni singolari. La proposizione appena richiamata ci dice che esistono distribuzioni singolari e che la delta di Dirac è una di queste.
Ora, però, gli ingegneri (che sono praticoni), hanno pensato: "Vabbé, ma il simbolo d'integrale è troppo comodo per non usarlo anche per denotare le distribuzioni singolari!"
E per questo, con grosso abuso di notazione, tutti i testi di ingegneria usano per la delta di Dirac una rappresentazione simbolica di tipo integrale, i.e. scrivono:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} \delta\ u \qquad \text{al posto di} \qquad \delta (u)\; .
\]
Ovviamente, per la proposizione riportata sopra, il simbolo ingegneristico è del tutto privo di significato formale; esso è solamente utile in quanto consente di fare rapidamente certi passaggi che altrimenti sarebbero un po' più difficili da ricordare.
Gugo grazie di tutto. Non ho capito tutto perfettamente, ma non ci speravo affatto xD! ora mi rileggo tutto con più attenzione e vedo di capirci qualcosa. Se ho problemi posso postare stesso qui?! Grazie ancora di tutto 
Certo. 
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