Distribuzioni
Ciao a tutti, sono alle prime armi con le distribuzioni, qualcuno può spiegarmi come mai se f(t) è una funzione di classe C1 ,derivata classica e distribuzionale coincidono? Il libro dice che è evidente dalla definizione di derivata nel senso delle distribuzioni(quella che si ottiene integrando per parti)ma a meno di qualche svista, per me non è poi così evidente..
grazie
grazie
Risposte
Se \(f\) è \(L_{loc}^1\), chiamiamo \(F\) la distribuzione generata da \(f\), cioè il funzionale lineare continuo definito sullo spazio dei test \(C_c^\infty\) ponendo:
\[
\forall \phi \in C_c^\infty,\qquad \langle F,\phi \rangle := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ \phi (t)\ \text{d} t\; .
\]
Come noto, la distribuzione \(F\) è derivabile nel senso delle distribuzioni e la sua derivata \(F^\prime\) è la distribuzione definita ponendo:
\[
\forall \phi \in C_c^\infty,\qquad \langle F^\prime ,\phi \rangle := -\langle F, \phi^\prime \rangle = -\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ \phi^\prime (t)\ \text{d} t\; .
\]
Vogliamo mostrare che se \(f\in C^1\) allora \(F^\prime\) è la distribuzione generata da \(f^\prime\), ossia che l'uguaglianza:
\[
\langle F^\prime ,\phi \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f^\prime (t)\ \phi (t)\ \text{d} t
\]
vale per ogni \(\phi \in C_c^\infty\).
Presa una qualsiasi funzione test \(\phi \in C_c^\infty (\mathbb{R})\) e detto \([a,b]\) un compatto contenente il supporto di \(\phi\) (il che, in soldoni, significa che \(\phi^{(n)}(x)=0\) per \(x\leq a\) ed \(x\geq b\) per ogni ordine di derivazione \(n\)), si ha:
\[
\begin{split}
\langle F^\prime ,\phi \rangle &= -\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ \phi^\prime (t)\ \text{d} t \\
&= -\int_a^b f(t)\ \phi^\prime (t)\ \text{d} t \\
&= - f(t)\ \phi (t)\Big|_a^b + \int_a^b f^\prime (t)\ \phi (t)\ \text{d} t \qquad\text{(integrazione per parti)}\\
&= \int_a^b f^\prime (t)\ \phi (t)\ \text{d} t \qquad \text{(perché } \phi(a)=0=\phi(b)\text{)}\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} f^\prime (t)\ \phi (t)\ \text{d} t
\end{split}
\]
che è quanto volevamo.
Quindi, se con evidente abuso di linguaggio, identifichiamo una funzione con la distribuzione che essa genera, possiamo dire che \(f\in C^1\) è derivabile in senso distribuzionale e che la derivata prima distribuzionale di \(f\) coincide con la derivata classica \(f^\prime\)
\[
\forall \phi \in C_c^\infty,\qquad \langle F,\phi \rangle := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ \phi (t)\ \text{d} t\; .
\]
Come noto, la distribuzione \(F\) è derivabile nel senso delle distribuzioni e la sua derivata \(F^\prime\) è la distribuzione definita ponendo:
\[
\forall \phi \in C_c^\infty,\qquad \langle F^\prime ,\phi \rangle := -\langle F, \phi^\prime \rangle = -\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ \phi^\prime (t)\ \text{d} t\; .
\]
Vogliamo mostrare che se \(f\in C^1\) allora \(F^\prime\) è la distribuzione generata da \(f^\prime\), ossia che l'uguaglianza:
\[
\langle F^\prime ,\phi \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f^\prime (t)\ \phi (t)\ \text{d} t
\]
vale per ogni \(\phi \in C_c^\infty\).
Presa una qualsiasi funzione test \(\phi \in C_c^\infty (\mathbb{R})\) e detto \([a,b]\) un compatto contenente il supporto di \(\phi\) (il che, in soldoni, significa che \(\phi^{(n)}(x)=0\) per \(x\leq a\) ed \(x\geq b\) per ogni ordine di derivazione \(n\)), si ha:
\[
\begin{split}
\langle F^\prime ,\phi \rangle &= -\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ \phi^\prime (t)\ \text{d} t \\
&= -\int_a^b f(t)\ \phi^\prime (t)\ \text{d} t \\
&= - f(t)\ \phi (t)\Big|_a^b + \int_a^b f^\prime (t)\ \phi (t)\ \text{d} t \qquad\text{(integrazione per parti)}\\
&= \int_a^b f^\prime (t)\ \phi (t)\ \text{d} t \qquad \text{(perché } \phi(a)=0=\phi(b)\text{)}\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} f^\prime (t)\ \phi (t)\ \text{d} t
\end{split}
\]
che è quanto volevamo.
Quindi, se con evidente abuso di linguaggio, identifichiamo una funzione con la distribuzione che essa genera, possiamo dire che \(f\in C^1\) è derivabile in senso distribuzionale e che la derivata prima distribuzionale di \(f\) coincide con la derivata classica \(f^\prime\)
grazie!! 
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