Distribuzione di probabilità e Integrale ?
Buonasera
di recente stavo "giocando" un po' con la Gaussiana, e più che altro con la sua Primitiva (che come ben so non è stata ancora definita), allora "banalmente" stavo provando ad integrare per parti e mi sono accorto che l'integrale di tale funzione può essere riscritto come una serie precisamente in questo modo $ (sum_(n = \0) (2^n*x^(2n+1))/((2n+1)!))*e^-(x^2) + (2^(n+1)/((2n+1)!))*int (e^(-x^2)*x^(2n)) $ supposto ora che questo procedimento vada all'infinito si potrebbe (se si può non saprei di preciso) trascurare questo termine quì $ (2^(n+1)/((2n+1)!))*int (e^(-x^2)*x^(2n)) $, e quindi ricondurre l'integrale $ (sum_(n = \0) (2^n*x^(2n+1))/((2n+1)!))*e^-(x^2) $ a una serie, l'idea è quella di ricondursi in un qualche modo da questa serie $ (2^n*x^(2n+1))/((2n+1)!)) $ a una serie già nota... cercando su internet ho trovato la tabella degli siluppi di Taylor-McLaurin e questa serie è circa uguale alla funzione Arctan(x).
Scusate per il disturbo, la mia è solo una domanda di curiosità, magari sbagliatissima, perciò ho chiesto aiuto su questo Forum, spero che riusciate ad eliminare i miei dubbi e dirmi dove sbaglio.
Grazie mille in anticipo e di nuovo scusate il disturbo
di recente stavo "giocando" un po' con la Gaussiana, e più che altro con la sua Primitiva (che come ben so non è stata ancora definita), allora "banalmente" stavo provando ad integrare per parti e mi sono accorto che l'integrale di tale funzione può essere riscritto come una serie precisamente in questo modo $ (sum_(n = \0) (2^n*x^(2n+1))/((2n+1)!))*e^-(x^2) + (2^(n+1)/((2n+1)!))*int (e^(-x^2)*x^(2n)) $ supposto ora che questo procedimento vada all'infinito si potrebbe (se si può non saprei di preciso) trascurare questo termine quì $ (2^(n+1)/((2n+1)!))*int (e^(-x^2)*x^(2n)) $, e quindi ricondurre l'integrale $ (sum_(n = \0) (2^n*x^(2n+1))/((2n+1)!))*e^-(x^2) $ a una serie, l'idea è quella di ricondursi in un qualche modo da questa serie $ (2^n*x^(2n+1))/((2n+1)!)) $ a una serie già nota... cercando su internet ho trovato la tabella degli siluppi di Taylor-McLaurin e questa serie è circa uguale alla funzione Arctan(x).
Scusate per il disturbo, la mia è solo una domanda di curiosità, magari sbagliatissima, perciò ho chiesto aiuto su questo Forum, spero che riusciate ad eliminare i miei dubbi e dirmi dove sbaglio.
Grazie mille in anticipo e di nuovo scusate il disturbo
Risposte
"Il_Drugo":
la Gaussiana, e più che altro con la sua Primitiva (che come ben so non è stata ancora definita),
Ah no? Allora io sarò il primo:
\[
G(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_0^x e^{-t^2}\, dt.\]
Ho definito una primitiva della Gaussiana e sono il primo nel mondo ad averlo fatto! Quanto mi spetta di premio?
Hai vinto una campana! Sei contento?
Un po' di spiegazione delle battute fatte. Dissonance ti ha scritto una primitiva "esatta" della funzione $e^{-t^2}$; quello che tu hai sostenuto come "non è stata ancora definita" in realta' va riscritto come "la primitiva $G$ non e' una funzione elementare" dove per funzione elementare si intende una funzione che si puo' costruire a partire dalle funzioni elementari note (potenze, radici, logaritmi, circolari, esponenzlali, ecc....) con le operazioni note (c'e' la definizione esatta ma esula dalla risposta, basta sapere che c'e'). Detto questo, vista l'enorme importanza della funzione $G$ in statistica ci sono tanti risultati di integrazione per serie che consentono per altro di compilare le famose tavole che normalmente si usano.
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
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