Distribuzione
Sto studiando le distribuzioni e ho trovato questo esercizio che però non riesco a risolvere, se qualcuno riuscisse a dirmi come fare ne sarei felice, perchè è da due giorni che ci penso senza risultati! grazie!
Sia $I\subset \mathbb{R}$ un intervallo aperto e $T$ una distribuzione tale che $T':=DT=0$. Dimostrare che esiste $c \in \mathbb{R}$ tale che $T=cT_1$, dove $1:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ è definita da $1(x)=1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$.
Quindi $T_1[\phi]:=\int_I 1(x)\phi(x)dx$, per ogni $\phi$
Grazie mille!
Sia $I\subset \mathbb{R}$ un intervallo aperto e $T$ una distribuzione tale che $T':=DT=0$. Dimostrare che esiste $c \in \mathbb{R}$ tale che $T=cT_1$, dove $1:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ è definita da $1(x)=1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$.
Quindi $T_1[\phi]:=\int_I 1(x)\phi(x)dx$, per ogni $\phi$
Grazie mille!
Risposte
In sostanza vuoi dimostrare che una distribuzione $T$ con derivata nulla è costante.
Indico con $$ la dualità tra le distribizioni $T$ e i test $\phi$ in $D$ ($=C_0^{\infty}$ ).
Dire che $T'=0$ significa
(1) $- =0$ per ogni $\phi$ in $D$
Al posto di $\phi'$ mi piacerebbe mettere un test qualsiasi. Questo non lo posso fare: non tutte le $\psi$ in
$D$ sono derivata di una $\phi$ di $D$, però se $\psi\in D$ e ha media nulla ( $\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(t) dt =0$)
allora $\psi$ è la derivata di $\phi(t)=\int_{-\infty}^{t}\psi(s) ds$ (che $\phi'=\psi$ è conseguenza del teorema fonfamentale del
calcolo, mentre il fatto che $\phi$ sia a supporto compatto viene dall'avere $\psi$ media nulla). Dunque la (1) è lo stesso che
(2) $ =0$ per ogni $\psi$ in $D$ a media nulla.
A questo punto fissiamo una $\eta_0$ in $D$ tale che $\int_{-\infty}^{+\infty}=1$
Per una qualunque $\psi$ in $D$ possiamo scrivere $\psi(x)=\psi_0(x)+\eta_0(x)\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(s)ds$
dove $\psi_0$ (ottenuta per differenza) è a media nulla, come si verifica facilmente. Dunque
(3) $ = + = 0+\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(s)ds= <1,\psi> = < ,\psi>$
cioè $T=$
Indico con $
Dire che $T'=0$ significa
(1) $-
Al posto di $\phi'$ mi piacerebbe mettere un test qualsiasi. Questo non lo posso fare: non tutte le $\psi$ in
$D$ sono derivata di una $\phi$ di $D$, però se $\psi\in D$ e ha media nulla ( $\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(t) dt =0$)
allora $\psi$ è la derivata di $\phi(t)=\int_{-\infty}^{t}\psi(s) ds$ (che $\phi'=\psi$ è conseguenza del teorema fonfamentale del
calcolo, mentre il fatto che $\phi$ sia a supporto compatto viene dall'avere $\psi$ media nulla). Dunque la (1) è lo stesso che
(2) $
A questo punto fissiamo una $\eta_0$ in $D$ tale che $\int_{-\infty}^{+\infty}=1$
Per una qualunque $\psi$ in $D$ possiamo scrivere $\psi(x)=\psi_0(x)+\eta_0(x)\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(s)ds$
dove $\psi_0$ (ottenuta per differenza) è a media nulla, come si verifica facilmente. Dunque
(3) $
cioè $T=
Grazie per la risposta! mi è tutto chiaro eccetto l'ultimo passaggio! non capisco $<1,\psi> = < ,\psi>$, cosa vuol dire $< ,\psi>$? Grazie
Vuol dire la dualità tra la funzione costante $$ e il test $\phi$.
Il risultato finale è dunque $T=$ (che forse avrei dovuto mettere alla fine del mio post precedente ...)
Il risultato finale è dunque $T=
Scusami non riesco a capire. Puoi spiegarmelo con altre parole?
Chiama $c$ il numero $$ -- $c$ lo puoi vedere come una funzione (localmente integrabile) costante
che individua la distribuzione $T_c$ definita da
$ =\int_{-\infty}^{+\infty}c\phi(t) dt$ per ogni $\phi$ in $D$
Noi avevamo trovato che per ogni $\phi$ in $D$
$ = \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(t) dt=\int_{-\infty}^{+\infty}c\phi(t) dt = $
Questo significa (nel senso delle distribuzioni) che $T=T_c$, cioè $T$ è la distribuzione che "vale" costantemente $c$.
Se non ti torna devi riflettere su cosa significa dimostrare che $T$ è costante.
che individua la distribuzione $T_c$ definita da
$
Noi avevamo trovato che per ogni $\phi$ in $D$
$
Questo significa (nel senso delle distribuzioni) che $T=T_c$, cioè $T$ è la distribuzione che "vale" costantemente $c$.
Se non ti torna devi riflettere su cosa significa dimostrare che $T$ è costante.
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