Distinzione max e min a 2 variabili
ciao ragazzi come sempre ho bisogno di voi...dunque sto facendo questo esercizio riguardo alla ricerca di massimi e minimi di due variabili con vincolo, ovvero:
z=x^3-y^2 con vincolo g(x,y)= x^2+y^2-1
allora io ho trovato i punti critici e li ho sostituiti nella funzione di partenza z. Fin qui tutto ok ora il mio problema e capire quali sono i punti di Massimo assoluto o relativo da quelli di minimo!! mi incasino c'è qualche trucchetto???o un metodo?
z=x^3-y^2 con vincolo g(x,y)= x^2+y^2-1
allora io ho trovato i punti critici e li ho sostituiti nella funzione di partenza z. Fin qui tutto ok ora il mio problema e capire quali sono i punti di Massimo assoluto o relativo da quelli di minimo!! mi incasino c'è qualche trucchetto???o un metodo?
Risposte
Ciao, rita21.
Potrebbe essere che l'espressione corretta del vincolo sia del tipo $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$
oppure, più in generale, del tipo $g(x,y)=x^2+y^2-1=k$ con $k$ costante nota?
Normalmente i vincoli legano le variabili $x$ e $y$ tra loro con una precisa ed esplicita condizione.
Per sicurezza considero il vincolo più generale (quello dipendente da $k$); quindi, dall'espressione del vincolo ricaverei:
$-y^2=x^2-k-1$
che, sostituito all'espressione della funzione $z=x^3-y^2$, darebbe:
$z=x^3+x^2-k-1$
Grazie a quest'ultima espressione, potresti studiare il comportamento della funzione lungo il vincolo.
Spero di aver contribuito utilmente e di non aver frainteso il problema.
Saluti.
Potrebbe essere che l'espressione corretta del vincolo sia del tipo $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$
oppure, più in generale, del tipo $g(x,y)=x^2+y^2-1=k$ con $k$ costante nota?
Normalmente i vincoli legano le variabili $x$ e $y$ tra loro con una precisa ed esplicita condizione.
Per sicurezza considero il vincolo più generale (quello dipendente da $k$); quindi, dall'espressione del vincolo ricaverei:
$-y^2=x^2-k-1$
che, sostituito all'espressione della funzione $z=x^3-y^2$, darebbe:
$z=x^3+x^2-k-1$
Grazie a quest'ultima espressione, potresti studiare il comportamento della funzione lungo il vincolo.
Spero di aver contribuito utilmente e di non aver frainteso il problema.
Saluti.
grazie mille! dunque il mio prof vuole l'esercizio con il moltiplicatore di lagrange io risolvo tutto e trovo i punti che poi sostituisco nella funzione di partenza ma il problema è distinguerli come facccio?
Ah... allora la procedura è un po' diversa.
Devi introdurre e studiare una nuova funzione $L$, con una variabile in più, definita così:
$L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda*g(x,y)$
quindi - come per qualunque funzione priva di vincoli - ne annulli il gradiente, ricavando i punti stazionari che puoi classificare tramite il determinante della matrice hessiana.
Saluti.
Devi introdurre e studiare una nuova funzione $L$, con una variabile in più, definita così:
$L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda*g(x,y)$
quindi - come per qualunque funzione priva di vincoli - ne annulli il gradiente, ricavando i punti stazionari che puoi classificare tramite il determinante della matrice hessiana.
Saluti.
ma quindi la matrice hessiana devo utilizzarla sempre? perchè il mio prof sostituisce i valori trovati nella funzione di partenza e poi li classifica direttamente!
... e il tuo prof. per mezzo di cosa procede, esattamente, alla classificazione?
"alessandro8":
quindi - come per qualunque funzione priva di vincoli - ne annulli il gradiente, ricavando i punti stazionari che puoi classificare tramite il determinante della matrice hessiana.
Saluti.
Mah, non sono proprio sicuro che si possa fare cosi' (probabilimente si ma bisogna calcolare anche l'Hessiana pure rispetto alla nuova variabile $\lambda$). Di solito si fa una cosa piu' semplice, che poi è anche quella fatta dal prof di Rita21. I punti critici sul vincolo sono generalmente in numero finito. Basta quindi valutare la funzione su ciascuno di essi e poi scegliere quelli che danno il valore massimo e il valore minimo.
@alessandro8: Anni fa abbiamo parlato della possibilità di fare ottimizzazione vincolata con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange anche al secondo ordine, ossia il metodo che proponi tu con la matrice Hessiana. Qui c'è la proposizione:
viewtopic.php?p=358372#p358372
Come vedi l'enunciato è un poco più complicato di come lo abbia descritto tu. Ma non escludo che il tuo approccio (=considerare la funzione Lagrangiana, che ha una variabile in più, e studiare il segno della matrice Hessiana) possa essere equivalente a quello di questo enunciato. Ci sarebbe da fare qualche conto per dimostrarlo.
viewtopic.php?p=358372#p358372
Come vedi l'enunciato è un poco più complicato di come lo abbia descritto tu. Ma non escludo che il tuo approccio (=considerare la funzione Lagrangiana, che ha una variabile in più, e studiare il segno della matrice Hessiana) possa essere equivalente a quello di questo enunciato. Ci sarebbe da fare qualche conto per dimostrarlo.
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