Distinzione fra differenziale e derivata in R^2
Ragazzi mi scuso in anticipo per la domanda vergognosa che sto per farvi, ma sono anni che cerco una risposta che al momento non è stata soddisfacente... come da titolo, quando devo usare la derivata e quando il differenziale? Su internet ho trovato tante definizioni: in ciccia, per me la derivata di una funzione è il limite del rapporto incrementale mentre il differenziale è l'approssimazione lineare della funzione nel punto.
Vi spiego dove mi sono bloccato. Negli appunti ho trovato quanto segue: " sia $F: Omega -> RR$ una funzione $C^1$ allora poniamo $dF := (deltaF)/ (deltax) dx + (deltaF) / (deltay) dy$, con $(deltaF)/ (deltax)$ e $(deltaF) /(deltay)$ differenziale di F" (poi scopriremo che questa $F$ è la primitiva di una forma differenziale, ma questa è un'altra storia
)... ecco, le domande che mi faccio sono: $dF$ è la derivata o il differenziale di F? perchè $(deltaF)/ (deltax)$ e $(deltaF) /(deltay)$ sono il differenziale di F? Per me erano semplicemente delle derivate parziali...
Vi spiego dove mi sono bloccato. Negli appunti ho trovato quanto segue: " sia $F: Omega -> RR$ una funzione $C^1$ allora poniamo $dF := (deltaF)/ (deltax) dx + (deltaF) / (deltay) dy$, con $(deltaF)/ (deltax)$ e $(deltaF) /(deltay)$ differenziale di F" (poi scopriremo che questa $F$ è la primitiva di una forma differenziale, ma questa è un'altra storia
)... ecco, le domande che mi faccio sono: $dF$ è la derivata o il differenziale di F? perchè $(deltaF)/ (deltax)$ e $(deltaF) /(deltay)$ sono il differenziale di F? Per me erano semplicemente delle derivate parziali...
Risposte
secondo me è proprio come dici tu! $frac{\delta F}{\delta x}$ è la derivata parziale.
Ok... e poi secondo me $dF$ è la derivata... dunque lì non c'è niente che potrei collegare al differenziale?
$ dF $ è il differenziale, non la derivata! $ (partialF)/(partial x) $ e $ (partialF)/(partial y) $ sono le derivate parziali di $ F $ . Nei tuoi appunti c'è qualcosa che non va.
Inoltre, una funzione di 2 variabili non ha la derivata, ma caso mai le derivate parziali e direzionali. E quello che hai scritto tu è il differenziale se la funzione è differenziabile, se no non lo è. Spero di non confonderti le idee, ma mi sembra che nei tui appunti manchi la definizione di differenziabilità di una funzione.
Inoltre, una funzione di 2 variabili non ha la derivata, ma caso mai le derivate parziali e direzionali. E quello che hai scritto tu è il differenziale se la funzione è differenziabile, se no non lo è. Spero di non confonderti le idee, ma mi sembra che nei tui appunti manchi la definizione di differenziabilità di una funzione.
Ok... quindi limitandomi al caso di $RR^2$ ogni volta che ho una funzione $F$ differenziabile e conosco le derivate parziali, posso dire che il differenziale è $dF=deltaF/(deltax)dx + deltaF/(deltay)dy$?
Si ma $\delta$ va sulla F 
Continuo questa discussione (a proposito, ringrazio Valerio e Gabriella per avermi aiutato fino ad ora ) con una domanda attinente per non aprire un ulteriore topic, spero di aver fatto la scelta giusta
Andando avanti negli appunti, hotrovato il cambio di variabile $dz=dx + idy$ e $dbar(z)=dx -idy$... allora il differenziale $df=(deltaf)/(deltax) dx + (deltaf)/(deltay) dy$ diventa $df=(deltaf)/(deltaz) dz + (deltaf)/(deltabar(z)) dbar(z)$, dove ho definito $(deltaf)/(deltaz)= (deltaf)/(deltax) - i(deltaf)/(deltay)$ e $(deltaf)/(deltabar(z))= (deltaf)/(deltax) + i(deltaf)/(deltay)$.
Fin qui ok... inoltre ho dovuto dimostrare che "$f$ olomorfa $<-> (deltaf)/(deltabar(z))=0$" e l'ho fatto... infatti $f$ olomorfa $<-> f$ differenziabile e $df$ è $CC$-lineare, e questo implica $(deltaf)/(deltabar(z))=0$.
Ecco però dove ho il dubbio: mi si chiede di dimostrare anche "in queste ipotesi (credo $f$ olomorfa, vale $f'(z) = (deltaf)/(deltaz)$"... però concordo con quanto detto da Gabriella: mi ricordo dal corso di Analisi2 che la derivata è un concetto che in più variabili non esiste se non come derivata parziale o direzionale... ma qui allora che si intende per $f'(z)$? E' veramente la derivata anche se $f:RR^2 -> RR$?
) con una domanda attinente per non aprire un ulteriore topic, spero di aver fatto la scelta giusta Andando avanti negli appunti, hotrovato il cambio di variabile $dz=dx + idy$ e $dbar(z)=dx -idy$... allora il differenziale $df=(deltaf)/(deltax) dx + (deltaf)/(deltay) dy$ diventa $df=(deltaf)/(deltaz) dz + (deltaf)/(deltabar(z)) dbar(z)$, dove ho definito $(deltaf)/(deltaz)= (deltaf)/(deltax) - i(deltaf)/(deltay)$ e $(deltaf)/(deltabar(z))= (deltaf)/(deltax) + i(deltaf)/(deltay)$.
Fin qui ok... inoltre ho dovuto dimostrare che "$f$ olomorfa $<-> (deltaf)/(deltabar(z))=0$" e l'ho fatto... infatti $f$ olomorfa $<-> f$ differenziabile e $df$ è $CC$-lineare, e questo implica $(deltaf)/(deltabar(z))=0$.
Ecco però dove ho il dubbio: mi si chiede di dimostrare anche "in queste ipotesi (credo $f$ olomorfa, vale $f'(z) = (deltaf)/(deltaz)$"... però concordo con quanto detto da Gabriella: mi ricordo dal corso di Analisi2 che la derivata è un concetto che in più variabili non esiste se non come derivata parziale o direzionale... ma qui allora che si intende per $f'(z)$? E' veramente la derivata anche se $f:RR^2 -> RR$?
Si intende la derivata in senso complesso, i.e. il:
\[
\lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z+\Delta z) -f(z)}{\Delta z}
\]
in cui \(\Delta z\in \mathbb{C}\).
\[
\lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z+\Delta z) -f(z)}{\Delta z}
\]
in cui \(\Delta z\in \mathbb{C}\).
Ok... sto provando a dimostrarlo... l'unica idea è riuscire a collegare le scritture $f'(z)=lim_(z -> z_o) (f(z) - f(z_0))/ (z - z_0)$ e $(deltaf)/(deltax)- i(deltaf)/(deltay)= lim_(x->x_0)(f(x,y_o) - f(x_0,y_o))/ (x - x_0) - i lim_(y->y_0)(f(x_0,y) - f(x_0,y_o))/ (y - y_0)$... ma non riesco a lavorare sul denominatore $z - z_0$ per "spezzarlo" come vorrei...
Scusate se vi tartasso con le domande, ma qui ogni volta che proseguo negli appunti è una tragedia 
Ho una forma chiusa $w=f(z)dz$ ed ha primitiva $g$ in un piccolo dischetto... dunque localmente $dg=f(z)dz$. Con ciò conclude che $g'(z)=f(z)$.
Come è stato possibile? Ho diviso ambo i membri per $dz$, così che $f(z)=(dg)/dz$? Se fosse così (già mi immagino che con questa domanda mi farò cascare le braccia... ) è perchè lo vedo come $(deltag)/(deltaz)$? O è per un altra cosa?
Grazie per la pazienza
Ho una forma chiusa $w=f(z)dz$ ed ha primitiva $g$ in un piccolo dischetto... dunque localmente $dg=f(z)dz$. Con ciò conclude che $g'(z)=f(z)$.
Come è stato possibile? Ho diviso ambo i membri per $dz$, così che $f(z)=(dg)/dz$? Se fosse così (già mi immagino che con questa domanda mi farò cascare le braccia...
) è perchè lo vedo come $(deltag)/(deltaz)$? O è per un altra cosa?Grazie per la pazienza
"nuwanda":
Ok... sto provando a dimostrarlo... l'unica idea è riuscire a collegare le scritture $f'(z)=lim_(z -> z_o) (f(z) - f(z_0))/ (z - z_0)$ e $(deltaf)/(deltax)- i(deltaf)/(deltay)= lim_(x->x_0)(f(x,y_o) - f(x_0,y_o))/ (x - x_0) - i lim_(y->y_0)(f(x_0,y) - f(x_0,y_o))/ (y - y_0)$... ma non riesco a lavorare sul denominatore $z - z_0$ per "spezzarlo" come vorrei...
Una funzione è derivabile in senso complesso se e solo se è differenziabile e valgono le relazioni di Cauchy-Riemann. Posto \(i=\sqrt{-1}\) se mi aspetto che valgano le operazioni di somma e moltiplicazione fra \(i\) ed i reali mi ritrovo a operare con numeri della forma \(x+iy\), che assomiglia molto ad una coppia ordinata \((x,y)\in \mathbb{R}^{2}\). Qui i dettagli:
img1
img2
img3
img4
Piccola considerazione che spero di possa essere utile per la derivata in senso complesso: l'insieme dei numeri complessi è isomorfo a $RR^{2}$ quindi una funzione di UNA variabile complessa è:
$f:RR^{2}\rightarrow RR^{2}$ e si può definire in, modo rigoroso la derivata di una funzione. Quando una funzione complessa è derivabile valgono le condizioni di cauchy-riemann.
Per quanto riguarda la questione di $dg/dz$ hai ragione! Te lo dice un fisico, la vecchia notazione di Leibniz è sempre utile!
$f:RR^{2}\rightarrow RR^{2}$ e si può definire in, modo rigoroso la derivata di una funzione. Quando una funzione complessa è derivabile valgono le condizioni di cauchy-riemann.
Per quanto riguarda la questione di $dg/dz$ hai ragione! Te lo dice un fisico, la vecchia notazione di Leibniz è sempre utile!
Non avevo visto che avevano già risposto!
P.s. la derivata che ho scritto è errata, deve essere $\frac{dg}{dz}$
P.s. la derivata che ho scritto è errata, deve essere $\frac{dg}{dz}$
Per 4mrkv : grazie delle disponse che hai linkato... non mi hanno risolto il problema che ho scritto, però mi ha fatto concludere un'altra cosa che stavo cercando di dimostrare ($f'(z)=2(deltaf)/(deltax)$) ed inoltre ho visto per bene la dimostrazione "f olomorfa se e solo se è differenziabile e $df$ è $CC$-lineare", che a lezione è stata tirata un pò via
Per Valerio: oltre ad un motivo di notazione, c'è anche un motivo più profondo? Sto bombardando il forum di analisi con domande su questi $dx$ che ancora non riesco a digerire... perchè $g(z)=f(z)dz -> g' (z)= f(z)$? Cosa vuol dire "dividere per $dz$"?
Visto che vale $g'(z)= (dg) / (dz)$ allora posso risolvere così $f'(z)=(deltaf)/(deltaz)$: se f è olomorfa, per quanto visto nei post precedenti, ho $df=(deltaf)/(deltaz)dz -> f'(z) = (df)/ (dz) =(deltaf)/(deltaz)$, cioè la tesi... va bene?
Per Valerio: oltre ad un motivo di notazione, c'è anche un motivo più profondo? Sto bombardando il forum di analisi con domande su questi $dx$ che ancora non riesco a digerire... perchè $g(z)=f(z)dz -> g' (z)= f(z)$? Cosa vuol dire "dividere per $dz$"?
Visto che vale $g'(z)= (dg) / (dz)$ allora posso risolvere così $f'(z)=(deltaf)/(deltaz)$: se f è olomorfa, per quanto visto nei post precedenti, ho $df=(deltaf)/(deltaz)dz -> f'(z) = (df)/ (dz) =(deltaf)/(deltaz)$, cioè la tesi... va bene?
Quella notazione oltre a essere eccezionalmente versatile, è giustificata dall'idea intuitiva di derivata come rapporto fra df e dx che rappresentano le variazioni della variabile dipendente e indipendente. Ora il calcolo definisce la derivata attraverso il concetto più rigoroso di limite del rapporto incrementale ma l'idea di base è proprio quella.
È così utile che la notazione di Leibniz viene utilizzata per risolvere le equazioni differenziali a variabili separabili (alcuni chiamano su questo forum il metodo urang utang tuttavia noi l'abbiamo studiato formalmente a un corso di analisi!).
Quindi spero che questo ti sia di aiuto in qualche modo
È così utile che la notazione di Leibniz viene utilizzata per risolvere le equazioni differenziali a variabili separabili (alcuni chiamano su questo forum il metodo urang utang tuttavia noi l'abbiamo studiato formalmente a un corso di analisi!).
Quindi spero che questo ti sia di aiuto in qualche modo
Il problema è che non hai capito cos'è il differenziale in generale...
Il resto, come le argomentazioni puramente euristiche di valerio (che richiama addirittura Leibniz), sono solo parole al vento: utili per risolvere meccanicamente alcuni problemi, ma totalmente obsolete e quasi fuorvianti.
Il resto, come le argomentazioni puramente euristiche di valerio (che richiama addirittura Leibniz), sono solo parole al vento: utili per risolvere meccanicamente alcuni problemi, ma totalmente obsolete e quasi fuorvianti.
Quel metodo ce l'ha spiegato un professore di analisi. L'abbiamo studiato rigorosamente.
@ valerio cavolaccio: Che vuol dire "rigorosamente"?
Se si tratta di manipolare differenziali come fossero quantità algebriche (cosa che si faceva nel '700, quando ancora non si aveva una definizione né di derivata né di differenziale), è meglio stendere un velo pietoso.
Vedi qui per maggiori dettagli.
Se si tratta di manipolare differenziali come fossero quantità algebriche (cosa che si faceva nel '700, quando ancora non si aveva una definizione né di derivata né di differenziale), è meglio stendere un velo pietoso.
Vedi qui per maggiori dettagli.
Senza togliere spazio alla discussione, il metodo che ho studiato era proprio quello illustrato nel PDF che hai postato tu. Qui concludo, sono già andato OT
@ valerio: Quale dei metodi presenti? Quello nel paragrafo 1 o nel 3?
Il primo
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