Distinzione fra differenziale e derivata in R^2

[nuwanda1]

Ragazzi mi scuso in anticipo per la domanda vergognosa che sto per farvi, ma sono anni che cerco una risposta che al momento non è stata soddisfacente... come da titolo, quando devo usare la derivata e quando il differenziale? Su internet ho trovato tante definizioni: in ciccia, per me la derivata di una funzione è il limite del rapporto incrementale mentre il differenziale è l'approssimazione lineare della funzione nel punto.

Vi spiego dove mi sono bloccato. Negli appunti ho trovato quanto segue: " sia $F: Omega -> RR$ una funzione $C^1$ allora poniamo $dF := (deltaF)/ (deltax) dx + (deltaF) / (deltay) dy$, con $(deltaF)/ (deltax)$ e $(deltaF) /(deltay)$ differenziale di F" (poi scopriremo che questa $F$ è la primitiva di una forma differenziale, ma questa è un'altra storia )... ecco, le domande che mi faccio sono: $dF$ è la derivata o il differenziale di F? perchè $(deltaF)/ (deltax)$ e $(deltaF) /(deltay)$ sono il differenziale di F? Per me erano semplicemente delle derivate parziali...

[4mrkv]

Boh, non mi è molto chiaro, fammi fare un ultimo tentativo. \(\mbox{d}z\in \mathbb{C}^{*}\) sostanzialmente è la funzione identità (stesso dominio e stesso comportamento), cosa mi impedisce di usare \(\mbox{d}z/\mbox{d}z\) per \(\mbox{d}z(z)\neq 0\)?

[Sk_Anonymous]

Non ho letto tutta la discussione, comunque ci tenevo a dire una cosa. La definizione simbolica di differenziale è: $df:=f'(x)*dx$. Quindi, posiamo scrivere l'identità $df=f'(x)*dx$, cioè $f'(x)=(df)/dx$ (1). In fisica la velocità istantanea $v(t)$ è definita come $v(t):=r'(t)$. In base alla (1), $r'(t)$ coincide con $(dr(t))/dt$, quindi vale l'identità $v(t)=(dr(t))/dt$ (2). Dunque posso scrivere ad esempio $v(t)*dt=dr(t)$, cosa che in Fisica viene fatta molto spesso e che ha fatto storcere il naso a molti, me compreso. Tuttavia non c'è nulla di strano, perché $(dr(t))/dt$ NON E' IL SIMBOLO DI DERIVATA (non avrebbe senso trattare questo simbolo come un rapporto), ma è un rapporto di due differenziali. Voi che dite? La confusione su questa cosa è originata dal fatto che il simbolo $(df)/dx$ può essere interpretato sia come il simbolo di derivata, sia come il rapporto tra i due differenziali $df$ e $dx$. Se lo si interpreta come simbolo di derivata, allora non ha senso trattarlo come fosse un rapporto (come si fa in Fisica), e allora storciamo il naso; in realtà in Fisica se quel simbolo viene trattato come un rapporto è perché è effettivamente un rapporto (di due differenziali). Voi che dite?

[Sk_Anonymous]

uppp

[Sk_Anonymous]

uppp

[Sk_Anonymous]

uppppp

[4mrkv]

Perché non ti leggi la discussione?

[Riccardo Desimini]

"lisdap":Non ho letto tutta la discussione, comunque ci tenevo a dire una cosa. La definizione simbolica di differenziale è: $df:=f'(x)*dx$. Quindi, posiamo scrivere l'identità $df=f'(x)*dx$, cioè $f'(x)=(df)/dx$ (1). In fisica la velocità istantanea $v(t)$ è definita come $v(t):=r'(t)$. In base alla (1), $r'(t)$ coincide con $(dr(t))/dt$, quindi vale l'identità $v(t)=(dr(t))/dt$ (2). Dunque posso scrivere ad esempio $v(t)*dt=dr(t)$, cosa che in Fisica viene fatta molto spesso e che ha fatto storcere il naso a molti, me compreso. Tuttavia non c'è nulla di strano, perché $(dr(t))/dt$ NON E' IL SIMBOLO DI DERIVATA (non avrebbe senso trattare questo simbolo come un rapporto), ma è un rapporto di due differenziali. Voi che dite? La confusione su questa cosa è originata dal fatto che il simbolo $(df)/dx$ può essere interpretato sia come il simbolo di derivata, sia come il rapporto tra i due differenziali $df$ e $dx$. Se lo si interpreta come simbolo di derivata, allora non ha senso trattarlo come fosse un rapporto (come si fa in Fisica), e allora storciamo il naso; in realtà in Fisica se quel simbolo viene trattato come un rapporto è perché è effettivamente un rapporto (di due differenziali). Voi che dite?

Secondo me dici bene.