Distanza su spazio infinito dimensionale
Ciao a tutti! Volevo sottoporre al forum il seguente problema, che non riesco a risolvere e mi è un po' oscuro.
Come posso dimostrare che lo spazio $\mathbb{R}^\infty$, costituito da tutte le successioni $(x_k)$ di numeri reali e dotato della seguente distanza:
$$d(x,y) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}},$$
è uno spazio metrico completo rispetto alla distanza stessa?
Avrei qualche problema anche a far vedere che effettivamente $d$ è una distanza, in particolare nel punto della disuguaglianza triangolare (la simmetria e la positività mi sembrano abbastanza chiare).
Aspetto delucidazioni.
Come posso dimostrare che lo spazio $\mathbb{R}^\infty$, costituito da tutte le successioni $(x_k)$ di numeri reali e dotato della seguente distanza:
$$d(x,y) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}},$$
è uno spazio metrico completo rispetto alla distanza stessa?
Avrei qualche problema anche a far vedere che effettivamente $d$ è una distanza, in particolare nel punto della disuguaglianza triangolare (la simmetria e la positività mi sembrano abbastanza chiare).
Aspetto delucidazioni.
Risposte
$d(x,y)\geq 0$ $\forall x,y \in \mathbb{R}^\infty$ segue dalla serie a termini positivi, che in particolare converge;
$d(x,y)=d(y,x)$ viene dalle proprietà del massimo e del valore assoluto;
$d(x,y)=0 \iff x=y$ poichè, se si vuole distanza nulla, è necessario che siano nulli tutti i temini di quella serie e quindi le due successioni $x$ e $y$ coincidono.
Per la disuguaglianza triangolare ho problemi con il denominatore, mentre i numeratori si riescono a "spezzare" e maggiorare..
$d(x,y)=d(y,x)$ viene dalle proprietà del massimo e del valore assoluto;
$d(x,y)=0 \iff x=y$ poichè, se si vuole distanza nulla, è necessario che siano nulli tutti i temini di quella serie e quindi le due successioni $x$ e $y$ coincidono.
Per la disuguaglianza triangolare ho problemi con il denominatore, mentre i numeratori si riescono a "spezzare" e maggiorare..
$d(x,z) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}$
$d(x,y) + d(y,z) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}} + \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}$
Sappiamo che la somma dei massimi è minore del massimo della somma ed inoltre sappiamo che $t/(1+t) , t in [0,oo)$ è monotona crescente:
$d(x,y) + d(y,z)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}} + \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}} ≥$
$≥ \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - y_k|+|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - y_k|+|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}≥$
$≥\sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}=d(x,z)$
$d(x,y) + d(y,z) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}} + \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}$
Sappiamo che la somma dei massimi è minore del massimo della somma ed inoltre sappiamo che $t/(1+t) , t in [0,oo)$ è monotona crescente:
$d(x,y) + d(y,z)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - y_k|: 1 \leq k \leq n\}} + \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}} ≥$
$≥ \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - y_k|+|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - y_k|+|y_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}≥$
$≥\sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\max\{|x_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}{1+ \max \{|x_k - z_k|: 1 \leq k \leq n\}}=d(x,z)$
Grazie mille, sei stato molto preciso. Io cercavo di maggiorare $d(x,z)$ e mi incasinavo nel conto. Teoricamente doveva venire lo stesso anche così però..!
Sulla completezza invece è nebbia..
Sulla completezza invece è nebbia..
La distanza qui è $[0,1)$ però per renderlo completo dobbiamo aggiungere proprio ${1}$. Se noi prendessimo, non so se possiamo farlo, ma credo di sì, la serie $1/(k-1)$ questa ci darebbe la distanza dalla serie nulla:
$\sum_{n=1}^\infty 1/2^n=1$.
Quindi la chiusura è:
$[0,1]$.
$\sum_{n=1}^\infty 1/2^n=1$.
Quindi la chiusura è:
$[0,1]$.
Ma non dovrei prendere una successione (di successioni) $(x_k)$ e fare vedere che converge ad un'altra successione?
Esatto, io ti ho mostrato la successione limite, in realtà, in poche parole tu devi riuscire ad avere la prima coordinata (primo termine della successione) infinita, tutte le altre non ti interessano. In particolare ti interessa la prima perché è l'unica che è presente in ogni parziale della sommatoria e ti interessa che questa tenda ad infinito perché così $t/(t+1)$ tende ad 1. Se vuoi anche la successione di successioni:
$(x_k)_j= (j,0,...,0)_j$
Dovrebbe funzionare
$(x_k)_j= (j,0,...,0)_j$
Dovrebbe funzionare
Perfetto, ora ho capito!! Grazie mille.
Invece per dimostrare che $l^2$ è un aperto di $\mathbb{R}^\infty$, con quella distanza, dovrei vedere come sono fatte le sfere?
Invece per dimostrare che $l^2$ è un aperto di $\mathbb{R}^\infty$, con quella distanza, dovrei vedere come sono fatte le sfere?
Cosa significa che un insieme è aperto in una certa metrica?
..se per ogni punto di quell'insieme, cioè per ogni successione $(x_k)$ che converge quadraticamente, riusciamo a trovare una reale positivo tale che le successioni che distino tale reale da $(x_k)$ siano ancora convergenti quadraticamente?
Mi frigge il cervello e mi sa che devo considerare spazi più piccoli...
Mi frigge il cervello e mi sa che devo considerare spazi più piccoli...
C'è un grosso problema, queste due successioni vanno nello stesso punto:
$(1/k,1/k,1/k,...,1/k)$
$(1/k,0,0,...,0)$
Si vede che ovviamente il primo non converge mentre il secondo appartiene ad $l^2$, che dici, secondo te funziona come contro esempio?
$(1/k,1/k,1/k,...,1/k)$
$(1/k,0,0,...,0)$
Si vede che ovviamente il primo non converge mentre il secondo appartiene ad $l^2$, che dici, secondo te funziona come contro esempio?
Non ti seguo, perchè mi sa che faccio confusione tra successioni che convergono e successioni di funzioni che convergono. 
Prendi la successione identicamente nulla. Questa appartiene ad $l^2$. Ora troviamo un aperto attorno a questa. Sicuramente fissato $epsilon$ esiste un k per il quale le due successioni che ti ho dato sopra appartengono alla palla centrata nella successione nulla. Ma una appartiene ad $l^2$, l'altra no!
Più o meno ho capito, grazie! Ti ho fatto ammattire. 
Ma va là, prova a dirmi cosa non ti è ancora chiarissimo
Ho fatto due calcoli carta e penna e direi che ci sono, ora ho una "visualizzazione" abbastanza chiara. Prima mi inngarbugliavo un po' a fare il limite di una successione di successioni, al di là delle notazioni ovviamente pesanti!
Si, sono oggetti scomodi da pensare e da usare, specie per me che sono un amante dei disegni!
Penso che sia una cosa comune a molti, troppi matematici tra noi.
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