Distanza punto da una curva
so che è una cavolata, ma non riesco a trovare un metodo analitico per risolvere il seguente eserizio:
dato il punto $P(3,0)$ e la curva $\gamma(t)=2costi+sintj$ , calcolare la distanza di P dalla curva.
ho svolto graficamente l'eserizio: la curva è un ellissi e la distanza da P mi viene 1.
ma come si fa a svolgerlo senza l'ausilio grafico, con le formule?
dato il punto $P(3,0)$ e la curva $\gamma(t)=2costi+sintj$ , calcolare la distanza di P dalla curva.
ho svolto graficamente l'eserizio: la curva è un ellissi e la distanza da P mi viene 1.
ma come si fa a svolgerlo senza l'ausilio grafico, con le formule?
Risposte
Mi sembra che si potrebbe fare così .....
Se un punto generico dell'ellisse è $Q(2cost, sin t)$, allora il quadrato della sua distanza da $P(3,0)$ è
$bar(PQ)^2=f(t)=(2cost-3)^2+(sin t -0)^2$, con $-pi<=t<=pi$.
Per trovare il minimo, si può studiare
$f'(t)=2(2cost-3)(-2sin t)+2sin t cos t=$
$-6 sin t cos t +12 sin t=6 sin t(2-cos t)$.
Il fattore $(2-cos t)$ è sicuramente $>0$.
Inoltre
$f'(t)=0$ per $t=0$,
$f'(t)<0$ per $-pi
Il valore del minimo della funzione quadrato della distanza è
$f(0)=(2cos0-3)^2+(sin 0 -0)^2=1$
e quindi la distanza minima è anch'essa uguale a $1$.
Se un punto generico dell'ellisse è $Q(2cost, sin t)$, allora il quadrato della sua distanza da $P(3,0)$ è
$bar(PQ)^2=f(t)=(2cost-3)^2+(sin t -0)^2$, con $-pi<=t<=pi$.
Per trovare il minimo, si può studiare
$f'(t)=2(2cost-3)(-2sin t)+2sin t cos t=$
$-6 sin t cos t +12 sin t=6 sin t(2-cos t)$.
Il fattore $(2-cos t)$ è sicuramente $>0$.
Inoltre
$f'(t)=0$ per $t=0$,
$f'(t)<0$ per $-pi
Il valore del minimo della funzione quadrato della distanza è
$f(0)=(2cos0-3)^2+(sin 0 -0)^2=1$
e quindi la distanza minima è anch'essa uguale a $1$.
chiarissimo! anche se non ho ancora affrontato tale parte del programma il procedimento è alquanto semplice 
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