Distanza punto-curva

[Mos1]

salve ragazzi...sto impazzendo su questo esercizio che magari per molti di voi risulterà banale..ma proprio non mi trovo con il risultato
l'esercizio è questo:

Calcolare la di stanza dal punto P=(5,0) dalla curva γ(t)=2costi + sintj

la risposta è 3 ..ma se a qualcuno esce mi può spiegare il procedimento?
grazie mille in anticipo

[ulven101]

Io cercherei il versore normale alla curva e prenderei il punto della curva da cui il versore normale sia in direzione di P. Poi si tratta di fare una semplice distanza euclidea.

[theras]

In modo alternativo,ma in fondo equivalente dato che stiamo implicitamente lavorando con l'usuale distanza euclidea,
potresti ricordare come,indicati rispettivamente con $(S,d)$ uno spazio metrico ed $X,Y$ due sottoinsiemi non vuoti di $S$,
si pone per definizione $d(X,Y)="inf"_(x in X,y in Y) d(x,y)$;
nel nostro caso,posto $X={(5,0)},Y=gamma$,avremo per tutta una serie d'evidenti ragioni
(tra esse è compresa la regolarità della tua curva..)
$d_(RR^2)(X,Y)=..="min"_(t in RR) sqrt((2"cos"t-5)^2+"sen"^2 t)$:
ti riconduci insomma,come spesso capita,ad un problema di Analisi I .
Saluti dal web.

[gugo82]

Innanzitutto, fai un disegno della situazione per vedere cosa aspettarti.
Ovviamente, \(\gamma\) è un'ellisse con centro in \(O=(0,0)\), assi lungo gli assi cartesiani e semiassi di lunghezze \(a=2\) e \(b=1\); quindi la situazione figurata nel problema è la seguente:
[asvg]xmin=-3; xmax=5; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; ellipse([0,0],2,1);
dot([5,0]); text([5,0],"P",above);[/asvg]
Graficamente, si vede che la linea di minima distanza che congiunge \(P\) a \(\gamma\) è il segmento dell'asse delle ascisse che ha per estremi \(P\) e il vertice \(A\) dell'ellisse di coordinate \((2,0)\).
Quindi ti aspetti che \(\operatorname{dist}(P,\gamma)=d(P,A) = 3\)...

Ora impostiamo la cosa più analiticamente.
Trovare la distanza tra \(P\) e \(\gamma\), come diceva theras, equivale a determinare l'estremo inferiore della funzione:
\[
d(P,Q) =\sqrt{(x-x_P)^2+(y-y_P)^2}=\sqrt{(x-5)^2+y^2}=:f(x,y)
\]
al variare di \(Q=(x,y)\in \gamma\).
Ciò si può fare in parecchi modi, però tutti si basano sulla seguente importante osservazione:

Dato che \(\gamma\) è compatto, l'estremo inferiore di cui sopra è raggiunto ed è in realtà il minimo assoluto di \(f(x,y)\) su \(\gamma\).

Notato ciò, le strategie da attuare per risolvere il problema possono essere le più disparate.

[*:3is4ukr3] Ad esempio, visto che la condizione \(Q\in \gamma\) si traduce in una relazione di compatibilità tra le coordinate di \(Q\), analiticamente parlando il tuo problema si riduce ad un problema di estremo vincolato.
Infatti, dato che l'equazione di \(\gamma\) è \(x^2+4y^2=4\), hai:
\[
\begin{cases}
\text{minimizzare} &f(x,y) = \sqrt{(x-5)^2+y^2}\\
\text{s. v.} &x^2+4y^2=4
\end{cases}
\]
o, equivalentemente:
\[
\begin{cases}
\text{minimizzare} &f^2(x,y) = (x-5)^2+y^2\\
\text{s. v.} &x^2+4y^2=4\; .
\end{cases}
\]


[/*:m:3is4ukr3]
[*:3is4ukr3] Oppure, visto che la tua curva è, essenzialmente, un insieme unidimensionale di cui conosci una rappresentazione parametrica, puoi ricondurti ad un problema di minimo libero per una funzione di un'unica variabile.
Ciò si fa semplicemente, sostituendo in \(f(x,y)\) o \(f^2(x,y)\) le funzioni \(2\cos t, \sin t\) al posto di \(x,y\) e restringendo le tue osservazioni all'intervallo \([0,2\pi]\): in tal modo, il tuo problema diventa:
\[
\text{minimizzare } \phi(t):=f(2\cos t,\sin t) =\sqrt{(2\cos t-5)^2+\sin^2 t}\qquad \text{per } t\in [0,2\pi]
\]
o, equivalentemente:
\[
\text{minimizzare } \phi^2(t) =(2\cos t-5)^2+\sin^2 t\qquad \text{per } t\in [0,2\pi]\; .
\]


[/*:m:3is4ukr3]
[*:3is4ukr3] Oppure ancora, puoi risolvere il problema in maniera geometrica.
La linea di minima distanza tra \(\gamma\) e \(P\) è necessariamente un segmento di retta. Tra tutte le rette del piano condotte per \(P\), solo alcune intersecano \(\gamma\) e lo fanno in due punti (se si contano i punti con la loro molteplicità di intersezione). Chiaramente, tra tali due punti, basta considerare solo quello più vicino a \(P\), perché stiamo cercando la distanza minima.
Detto \(M\) il generico punto di intersezione più vicino a \(P\) di una generica retta per \(P\) secante \(\gamma\), e detto \(A\) il vertice dell'ellisse \((2,0)\), chiamiamo \(H\) il piede della perpendicolare all'asse delle ascisse condotta per \(M\).
[asvg]xmin=-3; xmax=5; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="dodgerblue"; line([2,0],[5,0]);
stroke="cyan"; line([5,0],[1,0.87]);
strokewidth=1;
line([1,0.87],[1,0]); line([1,0],[2,0]);
stroke="red"; ellipse([0,0],2,1);
dot([5,0]); text([5,0],"P",above); dot([2,0]); text([2,0],"A",belowleft);
dot([1,0.87]); text([1,0.87],"M", above); dot([1,0]); text([1,0],"H", belowleft);[/asvg]
Il segmento \(PM\) è l'ipotenusa del triangolo \(PHM\) (rettangolo in \(H\)) e perciò essa ha lunghezza maggiore del cateto \(PH\); ma d'altra parte \(PH\) ha lunghezza maggiore del segmento \(PA\), che giace su di esso; quindi la lunghezza di \(PM\) è certamente maggiore di quella di \(PA\).
Da ciò segue che \(PA\) è il segmento di minima lunghezza che congiunge \(P\) a \(\gamma\) e, quindi, che la distanza punto-curva è uguale alla lunghezza di \(PA\), i.e. a \(3\).
[/*:m:3is4ukr3][/list:u:3is4ukr3]

Detto ciò, prova a trovare altre soluzioni... Basta un po' di fantasia.