Distanza, norma, prodotto

[Kroldar]

In uno spazio vettoriale dotato di prodotto (alcuni dicono "spazio unitario") è sempre possibile introdurre una norma nel modo seguente: $||x||=sqrt(x,x)$ e otteniamo la norma "indotta" dal prodotto.
Inoltre, in uno spazio normato è sempre possibile introdurre una metrica nel modo seguente: $d(x,y)=||x-y||$ e abbiamo così la metrica "indotta" dalla norma.
La presenza del prodotto è condizione sufficiente affinché lo spazio sia normato e la presenza della norma è condizione sufficiente per la presenza della struttura metrica... inoltre in uno spazio unitario esiste uno stretto legame tra prodotto, norma e distanza.

Vediamo il problema inverso ora...
Dato uno spazio metrico, sotto quali condizioni è garantita la presenza di una norma che induce la suddetta metrica?
Dato uno spazio normato, sotto quali condizioni è garantita la presenza di un prodotto scalare che induce la suddetta norma?

[ficus2002]

"Kroldar":
Dato uno spazio metrico, sotto quali condizioni è garantita la presenza di una norma che induce la suddetta metrica?

Esiste una norma che induce la metrica se e solo se lo spazio metrico è un $RR$-spazio vettoriale e la distanza è invariante per traslazione ed omogenea, ossia, per ogni $\lambda\in RR$ e per ogni $x,y,z\in V$ si ha $d(x+z,y+z)=d(x,y)$ e $d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|d(x,y)$ e la norma è definita da $|x|=d(x,0)$

"Kroldar":
Dato uno spazio normato, sotto quali condizioni è garantita la presenza di un prodotto scalare che induce la suddetta norma?

Esiste un prodotto scalare se e solo se vale la regola del parallelogramma, ossia
$|x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2$
e in tal caso il prodotto è definito da $(x,y)=1/4 |x+y|^2 - 1/4 |x-y|^2$.

EDIT: ho aggiunto che la distanza deve essere invariante per traslazione.

[Kroldar]

"ficus2002":
Esiste una norma che induce la metrica se e solo se lo spazio metrico è un $RR$-spazio vettoriale e la distanza è omogenea, ossia, per ogni $\lambda\in RR$ e per ogni $x,y\in V$ si ha $d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|d(x,y)$ e la norma è definita da $|x|=d(x,0)$

Potresti dirmi cos'è un $RR$-spazio vettoriale? Uno spazio vettoriale sul campo reale per caso?

"ficus2002":
Esiste un prodotto scalare se e solo se vale la regola del parallelogramma, ossia
$|x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2$
e in tal caso il prodotto è definito da $(x,y)=1/4 |x+y|^2 - 1/4 |x-y|^2$.

A dire il vero pensavo che il criterio del parallelogrammo si potesse applicare solo per gli spazi di Lebesgue... ma vedo che invece si generalizza.
Grazie!

[Principe2]

ce l'hai le dimostrazioni? oppure mi dici dove poterle trovare?

[ficus2002]

"Kroldar":Potresti dirmi cos'è un $RR$-spazio vettoriale? Uno spazio vettoriale sul campo reale per caso?

Esatto

"Kroldar":
A dire il vero pensavo che il criterio del parallelogrammo si potesse applicare solo per gli spazi di Lebesgue... ma vedo che invece si generalizza.
Grazie!

Si puo' generalizzare anche al caso complesso, ossia per spazi vettoriali sul campo complesso.

[ficus2002]

"ubermensch":ce l'hai le dimostrazioni? oppure mi dici dove poterle trovare?

Per la seconda questione, la dimostrazione puoi trovarla qui;