Distanza di una funzione dall´origine ( Max -min vincolati)
Ciao a tutti,
ho la seguente funzione
$ x^2 -xy+y^2 -3 =0$
devo calcolare i punti della funzione tali che si abbia la minima e la massima distanza dall´origine.
Avresti un consiglio su come procedere?
devo semlicemente calcolare il massimo e il minimo della funzione o é qualcosa di piü complesso?
ho disegnato la funzione che é un ellipse, e il massimo e il minimo mi sembrano il punto con la distanza maggiore.
Per il punto con la distanza minore avrei pensato di fare la funzione inversa e poi calcolare nuovamente il massimo o minimo della funzione.
ho la seguente funzione
$ x^2 -xy+y^2 -3 =0$
devo calcolare i punti della funzione tali che si abbia la minima e la massima distanza dall´origine.
Avresti un consiglio su come procedere?
devo semlicemente calcolare il massimo e il minimo della funzione o é qualcosa di piü complesso?
ho disegnato la funzione che é un ellipse, e il massimo e il minimo mi sembrano il punto con la distanza maggiore.
Per il punto con la distanza minore avrei pensato di fare la funzione inversa e poi calcolare nuovamente il massimo o minimo della funzione.
Risposte
"DarioBaldini":
Ciao a tutti,
ho la seguente funzione
$ x^2 -xy+y^2 -3 =0$
devo calcolare i punti della funzione tali che si abbia la minima e la massima distanza dall´origine.
Avresti un consiglio su come procedere?
devo semlicemente calcolare il massimo e il minimo della funzione o é qualcosa di piü complesso?
ho disegnato la funzione che é un ellipse, e il massimo e il minimo mi sembrano il punto con la distanza maggiore.
Per il punto con la distanza minore avrei pensato di fare la funzione inversa e poi calcolare nuovamente il massimo o minimo della funzione.
che qualcuno che sa darmi una mano?
Probabilmente devi trovare il massimo e il minimo per capire quale dei due è piu distante dall'origine (tendendo $x$ e $y$ ad infinito si vede che la funzione va ad infinito, quindi il punto più lontano è infinito). Per quello più vicino all'origine, direi che per l'origine ci sia il punto z=$-3$
Mi sembra troppo banale però
Mi sembra troppo banale però
"faximusy":
Probabilmente devi trovare il massimo e il minimo per capire quale dei due è piu distante dall'origine (tendendo $x$ e $y$ ad infinito si vede che la funzione va ad infinito, quindi il punto più lontano è infinito). Per quello più vicino all'origine, direi che per l'origine ci sia il punto z=$-3$
Mi sembra troppo banale però
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x2-xy%2By2-3%3D0+
Attraverso questo software ho disegnato la mia funzione e ho tratto le mie ipotesi. da qui non vedo perö che va verso infinito..[/quote]
Trattasi di un problema di estremi vincolati, in cui la funzione da massimizzare è la distanza di un generico punto dall'origine ed il vincolo è, ovviamente, la tua ellisse.
Così su due piedi ti suggerirei di prendere la circonferenza $x^2+y^2=k$ e cercare le intersezioni, imponendo poi la condizione di tangenza.
[Spero di non aver detto una scemata, in tal caso è colpa dell'ora!!]
[Spero di non aver detto una scemata, in tal caso è colpa dell'ora!!]
"DarioBaldini":
[quote="faximusy"]Probabilmente devi trovare il massimo e il minimo per capire quale dei due è piu distante dall'origine (tendendo $x$ e $y$ ad infinito si vede che la funzione va ad infinito, quindi il punto più lontano è infinito). Per quello più vicino all'origine, direi che per l'origine ci sia il punto z=$-3$
Mi sembra troppo banale però
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x2-xy%2By2-3%3D0+
Attraverso questo software ho disegnato la mia funzione e ho tratto le mie ipotesi. da qui non vedo perö che va verso infinito..[/quote]
Se provi a sostituire con valori di $x$ e $y$ sempre più grandi (ad esempio sulla bisettrice $x=y$), ti accorgi che $z$ va ad infinito.
@Dario: Trattasi di un problema di estremo vincolato (in inglese, constrained optimization): ti si chiede di stabilire se sono risolvibili i problemi:
[tex]$\begin{cases} \max x^2+y^2 \\ \text{sotto condizione $x^2-xy+y^2-3=0$}\end{cases}$[/tex] e [tex]$\begin{cases} \min x^2+y^2 \\ \text{sotto condizione $x^2-xy+y^2-3=0$}\end{cases}$[/tex].
Problemi del genere si risolvono col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
[tex]$\begin{cases} \max x^2+y^2 \\ \text{sotto condizione $x^2-xy+y^2-3=0$}\end{cases}$[/tex] e [tex]$\begin{cases} \min x^2+y^2 \\ \text{sotto condizione $x^2-xy+y^2-3=0$}\end{cases}$[/tex].
Problemi del genere si risolvono col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
"gugo82":
@Dario: Trattasi di un problema di estremo vincolato (in inglese, constrained optimization): ti si chiede di stabilire se sono risolvibili i problemi:
[tex]$\begin{cases} \max x^2+y^2 \\ \text{sotto condizione $x^2-xy+y^2-3=0$}\end{cases}$[/tex] e [tex]$\begin{cases} \min x^2+y^2 \\ \text{sotto condizione $x^2-xy+y^2-3=0$}\end{cases}$[/tex].
Problemi del genere si risolvono col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
posso chiederti perché hai preso la funzione $ x^2 +y^2 $ e come vincolo le elissi?
"DarioBaldini":
posso chiederti perché hai preso la funzione $ x^2 +y^2 $ e come vincolo le elissi?
Come è noto, la distanza di un punto $ (x,y) $ dall'origine degli assi cartesiani è $ sqrt(x^2 + y^2) $, ma tale funzione ha gli stessi estremi di $ x^2 + y^2 $. Quindi usare quest'ultima funzione in luogo della norma euclidea semplifica i calcoli
"Omen":
[quote="DarioBaldini"]posso chiederti perché hai preso la funzione $ x^2 +y^2 $ e come vincolo le elissi?
Come è noto, la distanza di un punto $ (x,y) $ dall'origine degli assi cartesiani è $ sqrt(x^2 + y^2) $, ma tale funzione ha gli stessi estremi di $ x^2 + y^2 $. Quindi usare quest'ultima funzione in luogo della norma euclidea semplifica i calcoli
[/quote]a ok grazie . Una domanda per vedere se ho capito:
se per esempio adesso ho un esercizio ipotetico che non ha niente a che fare con quello che ho postato, e mi chiedesse di calcolare lo stesso la distanza massima e minima dall´origine.
ma con un altra funzione: esempio $ x^2 +99 y+ 4y^2 - 1999 = 0 $ potrei lo stesso usare la data funzione come vincolo e la $x^2 +y^2$ come funzione da massimizzare o minimizzare?
o questa funzione vale solo in questo caso .( la mia risposta sarebbe si in quanto la distanza é data dal modulo e quindi dalla funzione$ x^2 + y^2$
se mi trovo in $RR^3$ con una funzione di terzo grado posso utilizzare ancora la funzione $ y^3+ x^3$ o é solo un eccezzione del campo $RR^2$
un´ altra domanda importante . Ho notato che in rete a volte la formula della lagrangiana é :
$ f(x) + lambda( f(y) $
a volte $ f(x) - lambda( f(y) $
ho notato che la differenza tra le formule é soltanto che otteniamo in entrambe gli stessi risultati solo con un una $lamba$ opposta.. solo per curiositá perché a volte viene scritta con il meno e a volte con il piü quando ciö non é necessario?
ho un´altro esercizio
$ f(x,y) = sqrt( x-y^2) $
il vincolo é $B := y-x^2 >= 0 e x-y^2>=0$
Posso analizzare qui l´esercizio in due casi? il primo per la prima disequazione e l´altro per seconda?
$ f(x,y) = sqrt( x-y^2) $
il vincolo é $B := y-x^2 >= 0 e x-y^2>=0$
Posso analizzare qui l´esercizio in due casi? il primo per la prima disequazione e l´altro per seconda?
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