Distance function: definisce una metrica?
Forse mi impallo per una scemenza, o magari non è proprio vero, ma...
Se ho una funzione $\delta$ su $\mathbb{C}^n$ tale che:
- è positiva ovunque e nulla solo in 0
- è continua
- per ogni $t\in\mathbb{C}$ ho $\delta(tz)=|t|\delta(z)$
posso dire che essa definisce una metrica naturale su $\mathbb{C}^n$: $d(x,y)=\delta(x-y)$? Dato che per definizione si chiama distance function il sospetto è forte, ma non riesco.
Manca solo la disuguaglianza triangolare da verificare. Fisso $x,y,z\in\mathbb{C}^n$. Devo mostrare che
$\delta(x-y)-\delta(x-z)\leq \delta(y-z)$
Ponendo $\epsilon=\delta(y-z)$ so che esiste $\rho=\rho(\epsilon)$ tale che $\forall w,w', |w-w'|<\rho$, ho $|\delta(w)-\delta(w')|<\epsilon$.
Tutto andrebbe a posto se sapessi che $|x-y-x+z|=|z-y|<\rho(\delta(y-z))$, ma come faccio a dirlo visto che non ho un'espressione esplicita di $\rho$?
Paola
Se ho una funzione $\delta$ su $\mathbb{C}^n$ tale che:
- è positiva ovunque e nulla solo in 0
- è continua
- per ogni $t\in\mathbb{C}$ ho $\delta(tz)=|t|\delta(z)$
posso dire che essa definisce una metrica naturale su $\mathbb{C}^n$: $d(x,y)=\delta(x-y)$? Dato che per definizione si chiama distance function il sospetto è forte, ma non riesco.
Manca solo la disuguaglianza triangolare da verificare. Fisso $x,y,z\in\mathbb{C}^n$. Devo mostrare che
$\delta(x-y)-\delta(x-z)\leq \delta(y-z)$
Ponendo $\epsilon=\delta(y-z)$ so che esiste $\rho=\rho(\epsilon)$ tale che $\forall w,w', |w-w'|<\rho$, ho $|\delta(w)-\delta(w')|<\epsilon$.
Tutto andrebbe a posto se sapessi che $|x-y-x+z|=|z-y|<\rho(\delta(y-z))$, ma come faccio a dirlo visto che non ho un'espressione esplicita di $\rho$?
Paola
Risposte
A parte la continuità, hai le proprietà della norma tranne la disuguaglianza triangolare per la norma. Per le norme sicuramente c'è un controesempio in cui fai vedere che possono valere le prime proprietà ma non la triangolare. Quindi non vale nemmeno per la metrica che dovresti indurre. Tu però hai già anche la continuità che è legata alla dis triangolare, perchè la lipschitzianità della norma è sostanzialmente la disuguaglianza triangolare... quindi boh?!
Stanotte ho avuto l'illuminazione (il che dice molto sulla qualità dei miei sogni 
)!
Sono andata a vedere sul mio libro sulla potential theory nei gruppi di Lie e credo che non valga la diseguaglianza triangolare, ma qualcosa del tipo
$\exists C>0: d(x,y)\leq C(d(x,z)+d(y,z))$
il che, nell'applicazione che devo usare, dovrebbe bastarmi.
Paola
)!Sono andata a vedere sul mio libro sulla potential theory nei gruppi di Lie e credo che non valga la diseguaglianza triangolare, ma qualcosa del tipo
$\exists C>0: d(x,y)\leq C(d(x,z)+d(y,z))$
il che, nell'applicazione che devo usare, dovrebbe bastarmi.
Paola
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