Dispense serie a termini complessi

[dattolico_007]

Salve, per caso sapreste dirmi dove posso procurarmi degli appunti, dispense o qualsivoglia forma di materiale sulle serie a termini complessi? Purtroppo la quasi totalità dei link presenti qui https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=53695 sono vecchi e non funzionano più.
Ho provato a consultare l'Acerbi-Buttazzo e il Marcellini-Sbordone e non c'è nulla. Il Giusti dedica due pagine in croce.

Gli argomenti nel programma vanno sotto questi nomi:
Successioni complesse.
Teorema sulla convergenza di una successione complessa.
Serie a termini complessi. Convergenza e condizione necessaria per la
convergenza.
Teorema sulla convergenza di una serie complessa mediante le serie delle
parti reali e immaginarie dei termini complessi.
Somma della serie complessa.
Serie geometrica a termini complessi. Serie esponenziale complessa.
Formula di Eulero
(A titolo informativo sto preparando l'esame di Analisi 2)
Vi ringrazio!

[gugo82]

Non credo ne esistano, di dispense di questo tipo, perché non c'è un gran bisogno di scriverne: la teoria è banale, poiché basta riscrivere i teoremi per le serie reali.

Se proprio ti serve qualche riassunto, prova a seguire e dimostrare da te i seguenti fatti[nota]Che comunque avrai trovato già scritti sul Giusti...[/nota]

Generalità sulle Successioni Complesse.

Definizione: Si chiama successione di numeri complessi una qualsiasi applicazione $f:NN -> CC$.
Scelto $n in NN$, il numero $z_n = f(n)$ si chiama termine generale della successione e la successione stessa si denota col simbolo $(z_n)$.

Definizione: Sia $(z_n)$ una successione complessa.
Si dice che $(z_n)$ è:

[*:1qqniv93] convergente verso $z\in CC$ se e solo se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ |z_n - z| < \varepsilon\; ;
\]
in tal caso si scrive $z_n -> z$ oppure $lim_n z_n$ o anche $lim_(n -> oo) z_n = z$;

[/*:m:1qqniv93]
[*:1qqniv93] divergente se e solo se:
\[
\forall M>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ |z_n| > M\; ;
\]
in questo caso si scrive $z_n -> oo$ oppure $\lim_n z_n = oo$ o anche $\lim_(n -> oo) z_n = oo$;

[/*:m:1qqniv93]
[*:1qqniv93] non regolare negli altri casi.[/*:m:1qqniv93][/list:u:1qqniv93]

Dato che \(z_n = x_n + \imath y_n\), alla successione complessa $(z_n)$ si possono associare le due successioni reali $(x_n)$ ed $(y_n)$ formate, rispettivamente, dalle parti reali e dai coefficienti dell'immaginario degli $z_n$; tali successioni si chiamano -ovviamente- parte reale e coefficiente dell'immaginario di $(z_n)$.
Vale il seguente fatto:

Sia $(z_n)$ una successione complessa e siano $(x_n)$ ed $(y_n)$ le successioni delle parti reali e dei coefficienti dell'immaginario di $(z_n)$.
La successione $(z_n)$ è:

[*:1qqniv93] convergente se e solo se tali sono $(x_n)$ ed $(y_n)$; in tal caso, il limite $z$ di $(z_n)$ è il numero complesso che ha per parte reale $x$ e coefficiente dell'immaginario $y$, rispettivamente, i limiti di $(x_n)$ ed $(y_n)$, cioè:
\[
\lim_n z_n = \lim_n x_n + \imath\ \lim_n y_n\; ;
\]
[/*:m:1qqniv93]
[*:1qqniv93] divergente se e solo se almeno una tra $(x_n)$ ed $(y_n)$ è non limitata;

[/*:m:1qqniv93]
[*:1qqniv93] non regolare se e solo se entrambe le $(x_n)$ ed $(y_n)$ sono limitate ed almeno una di esse non è convergente.[/*:m:1qqniv93][/list:u:1qqniv93]

Sfruttando il teorema precedente si vede che anche per le successioni complesse vale il:

Criterio di Convergenza di Cauchy: La successione $(z_n)$ converge se e solo se soddisfa la condizione di Cauchy:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n,m > \nu,\ |z_n - z_m| < \varepsilon\; .
\]

Generalità sulle Serie Complesse.

Definizione: Sia $(z_n)$ una successione di numeri complessi.
Si chiama serie complessa la coppia ordinata formata dalla successione $(z_n)$ e dalla successione $(Z_n)$ di termine generale:
\[
\tag{S} Z_n = \sum_{k=0}^n z_k\; ,
\]
cioè si pone \(\sum z_n := \Big( (z_n), (Z_n)\Big)\).
I termini $z_n$ si chiamano addendi di $\sum z_n$.
Il termine generale $Z_n$ si chiama somma parziale $n$-esima della serie $\sum z_n$.

Se, come al solito, si pone:
\[
z_n = x_n + \imath y_n
\]
per ogni $n in NN$, allora ogni somma parziale $Z_n$ della serie $\sum z_n$ si può scrivere come:
\[
Z_n = X_n + \imath Y_n
\]
in cui:
\[
\begin{split}
X_n &:= \operatorname{Re} \left( Z_n\right) = \sum_{k=0}^n \operatorname{Re} (z_n) = \sum_{k=0}^n x_n \\
Y_n &:= \operatorname{Im} \left( Z_n\right) = \sum_{k=0}^n \operatorname{Im} (z_n) = \sum_{k=0}^n y_n\; ;
\end{split}
\]
dunque ad ogni serie complessa $\sum z_n$ si possono associare due serie reali $\sum x_n$ e $\sum y_n$, le quali hanno come addendi, rispettivamente, le parti reali ed i coefficienti dell'immaginario degli addendi di $\sum z_n$.

Definizione: Sia $\sum z_n$ una serie complessa.
Si dice che:

[*:1qqniv93] $\sum z_n$ è convergente verso $z in CC$ se e solo se $Z_n -> z$, i.e. se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ \left| \sum_{k=0}^n z_n - z \right| < \varepsilon\; ;
\]
in tal caso, il numero complesso $z$ si chiama somma della serie $\sum z_n$ e si denota con il simbolo $\sum_(n=0)^oo z_n$;

[/*:m:1qqniv93]
[*:1qqniv93] $\sum z_n$ è divergente se e solo se $Z_n -> oo$, i.e. se:
\[
\forall M >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ \left| \sum_{k=0}^n z_n \right| > M\; ;
\]

[/*:m:1qqniv93]
[*:1qqniv93] $\sum z_n$ è non regolare in qualsiasi altro caso.[/*:m:1qqniv93][/list:u:1qqniv93]

Vale il seguente fatto (la cui dimostrazione è semplice):

Teorema: Una serie complessa $\sum z_n$ è:

[*:1qqniv93] convergente se e solo se sono convergenti entrambe le serie reali $\sum x_n$ ed $\sum y_n$; in tal caso, la somma $z$ della serie $\sum z_n$ ha come parte reale e come coefficiente dell'immaginario le somme $x$ ed $y$, rispettivamente, delle due serie reali $\sum x_n$ e $\sum y_n$, cioè:
\[
\sum_{n=0}^\infty z_n = \sum_{n=0}^\infty x_n + \imath \sum_{n=0}^\infty y_n\; ;
\]

[/*:m:1qqniv93]
[*:1qqniv93] divergente se e solo se almeno una delle serie reali $\sum x_n$ ed $\sum y_n$ non è limitata;

[/*:m:1qqniv93]
[*:1qqniv93] non regolare se solo se entrambe le serie reali $\sum x_n$ ed $\sum y_n$ sono limitate ed almeno una di esse non è convergente.[/*:m:1qqniv93][/list:u:1qqniv93]

Da questo teorema e dalla Condizione Necessaria alla Convergenza per le Serie Reali (oppure sfruttando il Criterio di Convergenza di Cauchy, che vale anche nel caso complesso) si deduce immediatamente la:

Condizione Necessaria alla Convergenza delle Serie Complesse: Se una serie complessa $\sum z_n$ è convergente, allora $z_n -> 0$ (o, equivalentemente, $|z_n| -> 0$).

Inoltre, sfruttando la disuguaglianza triangolare, puoi provare che:

Teorema della Convergenza Assoluta: Sia $\sum z_n$ una serie complessa.
Se la serie a termini (reali) non negativi $\sum |z_n|$ converge, allora anche $\sum z_n$ converge.

Serie geometrica.

Per quanto riguarda il resto, il ragionamento da fare per studiare la convergenza della serie geometrica complessa, i.e. $\sum q^n$ con $q \in CC$, è del tutto analogo al caso reale; se $Q_n$ è la somma parziale $n$-esima, si ha:
\[
\begin{split}
q\cdot Q_n &= \sum_{k=0}^n q^{k+1} \\ &= q + q^2 + \cdots + q^n + q^{n+1} \\ &= \underbrace{1 + q + q^2 + \cdots + q^n}_{=Q_n} + q^{n+1} - 1 \\ &= Q_n +q^{n+1} - 1
\end{split}
\]
da cui si ricava un'espressione esplicita per $Q_n$:
\[
Q_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\qquad \text{, per } q\neq 1\; ;
\]
d'altro canto, se $q=1$, la serie ha addendi tutti uguali ad $1$, quindi:
\[
Q_n = n+1\qquad \text{, per } q = 1\; .
\]
Dunque, se $q = 1$ la serie diverge, mentre per $q != 1$ la serie converge se e solo se la successione di termine generale $q^{n+1}$ è convergente; detti $rho$ e $theta$, rispettivamente, il modulo e l'argomento (principale) di $q$, è noto che:
\[
q^{n+1} = \rho^{n+1}\cdot \left( \cos(n+1)\theta + \imath \sin (n+1)\theta\right)
\]
dunque $q^{n+1}$ converge solo se $\rho < 1$, cioè se $|q|<1$, proprio come nel caso reale.

[dattolico_007]

"gugo82":Non credo ne esistano, di dispense di questo tipo, perché non c'è un gran bisogno di scriverne: la teoria è banale, poiché basta riscrivere i teoremi per le serie reali.

Ah ok, non lo sapevo. Dato che non abbiamo fatto esercizi, sono state trattate in lezioni straordinarie e sono argomenti facoltativi per l'esame orale (verranno riprese con Analisi 3), non avevo proprio idea di cosa aspettarmi.
Grazie mille, do subito uno sguardo