Disequzionevalida per ogni x
L'esercizio mi chiede per quali valori di alpha la disequazione risulta valida per ogni x appartenete ad R
\(\displaystyle e^x \leq 2x + \alpha \)
Spostando 2x sono arrivato ad avere
\(\displaystyle \alpha \leq e^x -2x\)
L'esercizio èfinito così o ci sono altri passaggi di cui ignoro l'esistenza ?
\(\displaystyle e^x \leq 2x + \alpha \)
Spostando 2x sono arrivato ad avere
\(\displaystyle \alpha \leq e^x -2x\)
L'esercizio èfinito così o ci sono altri passaggi di cui ignoro l'esistenza ?
Risposte
No, l'esercizio non è proprio finito, così non hai dimostrato nulla...fai un disegno di y=e^x e di y=2x, e vedi se è possibile che per ogni x, e^x stia sotto 2x
"Raffa85":
\(\displaystyle e^x \leq 2x + \alpha \)
Spostando 2x sono arrivato ad avere
\(\displaystyle \alpha \leq e^x -2x\)
Per carità, ho la febbre alta da sabato e rischio il vaneggio, però se porto $2x$ di là ottengo $2x+\alpha \le e^x$ che è praticamente il contrario (so che non è proprio così, lasciatemelo dire per praticità
) della disequazione iniziale.Magari usando le proprietà delle disequazioni c'è stata qualche svista sul cambio di verso.
Per il resto il suggerimento su come andare avanti te l'ha dato Vuplasir - anche se disegnerei $y=e^x$ e $y=2x + \alpha$ nel senso che traslerei la seconda curva per vedere se può capitare che stia sotto o sopra $e^x$.
"Raffa85":
Spostando 2x sono arrivato ad avere
$\alpha \leq e^x−2x$
Hai spostato male...$e^x \leq 2x+\alpha \Rightarrow e^x-2x \leq \alpha$
se esiste $\alpha \in RR$ tale che fa quello richiesto allora per ogni $x >x_0$ con $x_0$ sufficientemente grande deve risultare
$\frac{e^x}{x} \leq 2+\frac{\alpha}{x}<2+\alpha$
Chiaramente falso dato che l'esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi potenza di x
non c'è modo di risolverlo senza il grafico ?
Considera $f(x)=e^x$
Ora risolviamo $f'(x)=2$ sse $x=log(2)$
Essendo l'equazione della retta tangente al grafico nel punto $x_0$,
$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ avremo,
$y=2(x-log(2))+2=2x+2(1-log(2))$
Sappiamo dalla derivata seconda che $f$ è strettamente convessa su tutto il dominio, dunque in un intorno del punto di tangenza, la retta sta sotto.
Si tratta di risolvere $ygeqy'$ ovvero $2x+2(1-log(2))geq2x+alpha$
Questo è vero per $alphaleq2(1-log(2))$
Ora risolviamo $f'(x)=2$ sse $x=log(2)$
Essendo l'equazione della retta tangente al grafico nel punto $x_0$,
$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ avremo,
$y=2(x-log(2))+2=2x+2(1-log(2))$
Sappiamo dalla derivata seconda che $f$ è strettamente convessa su tutto il dominio, dunque in un intorno del punto di tangenza, la retta sta sotto.
Si tratta di risolvere $ygeqy'$ ovvero $2x+2(1-log(2))geq2x+alpha$
Questo è vero per $alphaleq2(1-log(2))$
Penso che sia stata scritta male perché $e^x-2x \leq \alpha$ deve verificarsi per ogni $x$ in $RR$ e questo non è vero quindi non so da dove hai tirato fuori il tuo risultato anto
Ciao Raffa85,
Perché? Che t'hanno fatto i grafici? Invece sono utili per avere un'idea di come vanno le cose... Ad esempio, nel caso in esame si vede subito che per $\alpha \le 0$ la disequazione $e^x \le 2x + \alpha$ che hai proposto non è mai verificata, ma il discorso cambia se $\alpha > 0$... Ad esempio se $\alpha = 1$ c'è sicuramente un intervallo di valori di $x$ dove $e^x \le 2x + 1$ (ad esempio si ha l'eguaglianza per $x = 0$ e la disequazione è verificata per $x = 1$).
Siccome però
allora direi che dan95 ti ha già risposto. Se invece sei interessata alla discussione della disequazione in base al valore di $\alpha$, allora mi studierei la funzione differenza $f(x) := e^x - 2x - \alpha$, similmente a quanto è già stato fatto ad esempio qui.
"Raffa85":
non c'è modo di risolverlo senza il grafico ?
Perché? Che t'hanno fatto i grafici? Invece sono utili per avere un'idea di come vanno le cose... Ad esempio, nel caso in esame si vede subito che per $\alpha \le 0$ la disequazione $e^x \le 2x + \alpha$ che hai proposto non è mai verificata, ma il discorso cambia se $\alpha > 0$... Ad esempio se $\alpha = 1$ c'è sicuramente un intervallo di valori di $x$ dove $e^x \le 2x + 1$ (ad esempio si ha l'eguaglianza per $x = 0$ e la disequazione è verificata per $x = 1$).
Siccome però
"Raffa85":
L'esercizio mi chiede per quali valori di $\alpha$ la disequazione risulta valida $\AA x \in \RR$
allora direi che dan95 ti ha già risposto. Se invece sei interessata alla discussione della disequazione in base al valore di $\alpha$, allora mi studierei la funzione differenza $f(x) := e^x - 2x - \alpha$, similmente a quanto è già stato fatto ad esempio qui.
"dan95":
Penso che sia stata scritta male perché $e^x-2x \leq \alpha$ deve verificarsi per ogni $x$ in $RR$ e questo non è vero quindi non so da dove hai tirato fuori il tuo risultato anto
Nella mia testa ho cambiato il verso della disequazione....
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