Disequzione irrazionale fratta

[5t4rdu5t]

non sto capendo come muovermi per svolgere questa disequazione qualcuno può consigliarmi?
$x*(sqrt((1+x)/x))<1-x$

[Summerwind78]

ciao

tu quali ragionamenti hai fatto per provare a risolverla?

di uno spunto dal quale partire

a sinistra dell'uguale porta la $x$ dentro la radice e poi fai il quadrato di entrambi i mebri

in pratica:

[tex]x \cdot \left( \sqrt{ \frac{1+x}{x} } \right) < 1-x \Rightarrow \sqrt{ x^{2} \cdot \frac{1+x}{x} } < 1-x \Rightarrow \left(\sqrt{ x^{2} \cdot \frac{1+x}{x} }\right)^{2} < (1-x)^{2}[/tex]

come proseguiresti da qui in avanti?

[gugo82]

Beh, \(x=0\) non è soluzione della disequazione (non sta nel dominio della funzione al primo membro), quindi ti rimangono da cercare le soluzioni \(\neq 0\).

Supposto \(x<0\) hai \(1-x>0\), e puoi ricordare che i numeri negativi sono sempre più piccoli dei positivi.

Se invece \(x>0\), devi distinguere i casi \(01\), il che richiede solo un po' di pazienza.

[Noisemaker]

"5t4rdu5t":non sto capendo come muovermi per svolgere questa disequazione qualcuno può consigliarmi?
$x*(sqrt((1+x)/x))<1-x$

riscrivila così
\begin{align*}
\sqrt{x(x+1)}<1 -x
\end{align*}
dopo di che devi risolvere
\begin{align*}
\begin{cases}
x(x+1)\ge0\\
1-x>0\\
x(x+1) <(1 -x)^2
\end{cases}
\end{align*}

[5t4rdu5t]

"Noisemaker":[quote="5t4rdu5t"]non sto capendo come muovermi per svolgere questa disequazione qualcuno può consigliarmi?
$x*(sqrt((1+x)/x))<1-x$

riscrivila così
\begin{align*}
\sqrt{x(x+1)}<1 -x
\end{align*}

non ho capito bene questo tuo passaggio..penso però che così stiamo assumendo già che x sia positiva no?[/quote]

[Noisemaker]

"5t4rdu5t":[quote="Noisemaker"][quote="5t4rdu5t"]non sto capendo come muovermi per svolgere questa disequazione qualcuno può consigliarmi?
$x*(sqrt((1+x)/x))<1-x$

riscrivila così
\begin{align*}
\sqrt{x(x+1)}<1 -x
\end{align*}

non ho capito bene questo tuo passaggio..penso però che così stiamo assumendo già che x sia positiva no?[/quote][/quote]
il campo di esistenza di quella disequazione impone che $ (1+x) /x \ge0,$ cioè $x\le-1$ e $x>0;$ come ti è gia stato suggerito,quando $x<-1$ la disequazione è sempre vera, quindi resta da considerare solo il caso in cui $x>0$
\begin{align}
x\left(\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)<1-x\quad&\to\quad x\left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}\right)<1-x\quad\to\quad \frac{x}{\sqrt{x} }\cdot \sqrt{1+x}<1-x\\
\quad&\to\frac{x\sqrt x}{\sqrt{x} \sqrt x }\cdot \sqrt{1+x}<1-x\quad\to\quad\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{1+x}<1-x\\
\quad&\to\quad\ \sqrt{x(x+1)}<1 -x
\end{align}

Allora risolvendo il sistema si ha:
\begin{align*} \begin{cases} x(x+1)\ge0\\ 1-x>0\\ x(x+1) <(1 -x)^2 \end{cases}= \begin{cases}x\le-1 \,\,\,\mbox{e}\,\,\,\, x>0\\x<-1\\ 3x<1 \end{cases} \quad\to\quad x\le-1 \quad\cup\quad 0

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[5t4rdu5t]

quindi x<-1 sempre vera perchè a sinistra abbiamosempre una quantità negativa invece a destra è sempre positiva. Il caso x>0 va studiato perchè non sappiamo cosa succede, ma x<-1 essendo dunque il caso banale si ci arriva facendo il dominio? perchè non ho considerato questo ragionamento