Disequazone logartmica 2

[maschinada]

Disequazone logartmica 2

[math]\frac{log_2(4^{x+1}-2)-2x}{(2x+1)}\le 1[/math]

[mc2]

Il denominatore e` diverso da zero se

[math]x\neq -\frac{1}{2}[/math]

.


Inoltre per l'esistenza del logaritmo deve essere

[math]4^{x+1}-2\gt 0[/math]

che implica

[math]x> -\frac{1}{2}[/math]

La disequazione data diventa:

[math]log_2(4^{x+1}-2)-2x \le 2x+1[/math]

[math]log_2(4^{x+1}-2) \le 4x+1[/math]

Per la definizione dei logaritmi:

[math]4^{x+1}-2\le 2^{4x+1}[/math]

Usiamo le proprieta` delle potenze:

[math]4^x\cdot 4-2\le 2^{4x}\cdot 2[/math]

[math]4^x\cdot 4-2\le 4^{2x}\cdot 2[/math]

Sostituzione:

[math]4^x=t[/math]

, con la condizione

[math]t>0[/math]

:

[math]4t-2\le 2t^2[/math]

[math]t^2-2t+1\ge 0[/math]

[math](t-1)^2\ge 0[/math]

Questa disuguaglianza e` verificata per ogni valore di t, quindi la disequazione di partenza e` verificata per ogni valore di x, ma bisogna ricordare le condizioni di realta`, quindi il risultato e`

[math]x>-\frac{1}{2}[/math]