Disequazioni, Logartmi, Esponenziali, Insiemistica di base

[SirSamuelBtt]

Disequazioni, Logartmi, Esponenziali, Insiemistica di base.

Chiedo cortesemente se potreste correggermi gli esercizi svolti.
Sotto allego Testo degli Esercizi e Svolgimento Esercizi.
Grazie,
Samuel

[Studente Anonimo]

Ciao,
è tutto corretto.
davvero bravo.
Saluti :-)

[SirSamuelBtt]

In realtà ci sono 2 errori.. che ho trovato io corregendo 4 problemi dei 6... quindi..

[Studente Anonimo]

Mi saranno sfuggiti, scusami.

[SirSamuelBtt]

potrebbe ricontrollarla perpiacere?

[Matlurker]

Primo esercizio.

[math]\sqrt \frac {x+1}{x-1} \leq 2\\CdE: \frac {x+1}{x-1}\geq 0\\\begin{cases}\frac{x+1}{x-1}\geq 0 \\x \not = 1 \end{cases} \rightarrow \forall x \in (-\infty; -1] \cup (1; \infty)[/math]

(Consiglio -> Semplicemente: valori esterni alle radici. Tutto il grafico del segno della funzione lo lascerei a funzioni più complesse che non una disequazione fratta di due di primo grado con le radici già evidenti. Noti che, come ha giustamente scritto, 1 non appartiene al CdE).
SF:

[math]\begin{cases}\frac{-3x+5}{x-1}\geq 0 \\x \not = 1 \end{cases} \rightarrow \forall x \in (-\infty; -1] \cup [\frac {5}{3}; \infty) [/math]

Nel compito svolto qui si trova

[math]x \geq 1[/math]

che è un errore, anche se ininfluente, in questo esercizio. Infatti 5/3 si trova a destra di 1. Se si fosse trovato a sinistra, quella scrittura avrebbe comportato un errore anche nel risultato finale.
SF

[math]\cap[/math]

CdE:

[math]\forall x \in (-\infty; -1] \cup [\frac {5}{3}; \infty)\\\text { }\\\text {Secondo esercizio.}\\\text { }\\\log_{\frac {1}{3}}\frac {x-2}{x+3} \geq 0\\\text {La base è un numero compreso tra 0 e 1}\\\text {Il verso della disequazione cambia}[/math]

[math]\begin{cases} \frac {x-2}{x+3} > 0\\\log_{\frac {1}{3}}\frac {x-2}{x+3} \geq 0 \end{cases}\\\begin{cases}x2\\\frac {x-2}{x+3} \leq 1 \end{cases}\\ \begin{cases}x2\\\frac {-5}{x+3} \leq 0 \end{cases}\\\begin{cases}x2\\\frac {5}{x+3} \geq 0 \end{cases}\\\begin{cases}x2\\x>-3 \end{cases} \longrightarrow x>2\\ \text {(Nel compito ha scritto, per il denominatore: }x+3 \geq 0\\\text {Errore)}\\\text { }\\\text {Terzo esercizio.}\\\text { }\\f(x)= \sqrt{- \log {(x^2-1)}-1}\\\begin{cases} - \log {(x^2-1)}-1 \geq 0 \\ x2-1>0 \end{cases}\\\begin{cases} \log {(x^2-1)} \leq -1 \\ (x+1)(x-1)>0 \end{cases}\\\begin{cases} \log {(x^2-1)} \leq -\log 10\\ x1 \end{cases}\\\begin{cases} x^2-1 \leq \frac {1}{10}\\ x1 \end{cases}\\\begin{cases} (x+\sqrt {\frac {11}{10}})(x-\sqrt {\frac {11}{10}}) \leq 0\\ x1 \end{cases}\\\begin{cases} -\sqrt {\frac {11}{10}}) \leq x \leq \sqrt {\frac {11}{10}}\\ x1 \end{cases}\\-\sqrt {\frac {11}{10}} \leq x \leq -1 \cup 1 \leq x \leq \sqrt {\frac {11}{10}}\\\text{Nel caso s'intendesse log con base e, tale pratica è deprecata, e deve essere}\\\text{scoraggiata in favore di ln. Il risultato, comunque,}\\\text{ai fini dell'esercizio non cambia, essendo } e> \frac{11}{10}>1[/math]

Aggiunto 1 ora 59 minuti più tardi:

Quarto esercizio.

[math]f(x)= \sqrt {\frac{e^x-3}{e^{2x}-1}}\\\begin{cases} \frac{e^x-3}{e^{2x}-1} \geq 0 \\e^{2x}-1 \not =0 \end{cases}\\\frac{e^x-3}{e^{2x}-1} \geq 0\\\text {Valori esterni alle radici }x_{1} \text{ e } x_{2},\\\text {esclusi gli zeri del denominatore:}\\\begin{cases}x_{1}=\ln 3\\x_{2}=0 \end{cases} \longrightarrow \forall x \in (-\infty; 0) \cup [\ln 3; \infty)[/math]

Aggiunto 33 minuti più tardi:

Quinto esercizio.

[math]A=\{x \in \mathbb{R}: x^2-3x-4 \leq 0\}\\B=\{x \in \mathbb{R}: \frac{x-4}{x-3} \geq 0 \\\text{La prima disequazione ha valori interni. Le radici:}\\x_{1}x_{2}=-4\text{; }x_{1}+x_{2}=+3\text{; }x_{1}=-1; x_{2}=4\\A=[-1;4]\\\text {La seconda disequazione ha valori esterni, tranne gli zeri}\\\text{al denominatore. Le radici:}\\x_{3}=4\text{; }x_{4}=3\\B=(-\infty;3) \cup [4; \infty)\\A \cup B: \mathbb {R}\\A \cap B: \{[-1;3);4\}[/math]