Disequazioni logaritmiche ed esponenziali

[Audrey2]

Salve ragazzi avrei un piccolo problema nella risoluzione di due disequazioni, una logaritmica e una esponenziale.

(1\2) elevato alla x minore-uguale 0

il test propone quattro soluzioni:
1) x minore-uguale 0
2) x maggiore-uguale 0
3) la disequazione è verificata per qualsiasi valore di x
4) la disequazione non ha soluzioni

la disequazione log in base 1/3 di x minore-uguale 0 ha soluzione:
1) x maggiore-uguale 0
2)x minore-uguale 0
3) x maggiore-uguale 1
4) x minore-uguale 1

vi sarei grata se mi sapeste spiegare anche il perchè..grazie mille!

[Aliseo1]

Riguardo il primo quesito, dalla teoria sai che la funzione esponenziale è definità in tutto $RR$ a valori in $RR^{+}$, precisamente $ f:R rarr RR^{+} $ tale che per ogni $x in RR$, $f(x)=a^x$, con $ a in RR^{+} $. Detto questo, qual è la soluzione giusta?

Riguardo al secondo quesito, considera le proprietà dei logaritmi, applicale alle disequazione $ log_{1/3}x <=0 $ e avrai la soluzione

P.S. - cerca di scrivere con il linguaggio richiesto, così da facilitare, chi sta dall'altra parte, la comprensione delle formule ok?

[Audrey2]

"Aliseo":Riguardo il primo quesito, dalla teoria sai che la funzione esponenziale è definità in tutto $RR$ a valori in $RR^{+}$, precisamente $ f:R rarr RR^{+} $ tale che per ogni $x in RR$, $f(x)=a^x$, con $ a in RR^{+} $. Detto questo, qual è la soluzione giusta?

Riguardo al secondo quesito, considera le proprietà dei logaritmi, applicale alle disequazione $ log_{1/3}x <=0 $ e avrai la soluzione

P.S. - cerca di scrivere con il linguaggio richiesto, così da facilitare, chi sta dall'altra parte, la comprensione delle formule ok?

grazie per la risposta!
io scrievrei anche nel linguaggio richiesto...a sapere come si fa!

[Aliseo1]

https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

[ppg91]

Salve a tutti scusate se mi intrometto spero di aver scelto il topic giusto ma ho problemi con questa funzione: $f(x)=(x^2 - 1)^x$ di cui mi si chiede di trovare il campo di esistenza e poi di risolvere $f(x)>1$. Ora per il campo di esistenza non ho avuto particolari problemi, infatti la funzione esiste $∀x \in ]-∞;-1[\cup]-1;+∞[$.
Quando ho dovuto risolvere la disequazione non ho saputo come procedere. Questo dovrebbe essere il risultato: "http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x^2+-+1%29^x+%3E1+", però se qualcuno potesse darmi qualche dritta lo ringrazierei!

[chiaraotta1]

A me sembrerebbe così ....
$f(x)=(x^2-1)^x$ è definita se la base è positiva, cioè se $x^2-1>0$ e quindi $x<-1 uu x>1$.
Se $x>1$, elevando la $(x^2-1)^x>1$ alla $1/x$ ottieni $x^2-1>1^(1/x)$, cioè $x^2-1>1$, $x^2>2$, $x>sqrt(2)$.
Se $x<-1$, si può scrivere $(x^2-1)^x>1$ come $1/(x^2-1)^(-x)>1$ dove $-x>1$. Allora $(x^2-1)^(-x)<1$. Elevando alla $-1/x$ ottieni $x^2-1<1^(-1/x)$, cioè $x^2-1<1$, $x^2<2$ e, infine, $-sqrt(2)

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[ppg91]

Scusa ma quando dici:

"chiaraotta":...$f(x)=(x^2-1)^x$ è definita se la base è positiva...

non potrebbe essere anche negativa se l'esponente è dispari?

[Sk_Anonymous]

Solitamente, per funzioni del tipo $f(x)^g(x)=e^(g(x)logf(x))$, come campo di esistenza si assume $f(x)>0$.

[ppg91]

Ok, allora spero che anche il mio professore di analisi assuma $f(x)>0$ perchè era in un compito d'esame! Comunque grazie a tutti siete stati molto disponibili, non credevo che avrei ricevuto risposta in un forum ma evidentemente mi sbagliavo. Spero di sbagliarmi più spesso(o almeno da questo punto di vista ).

[DajeForte]

Un saluto a Sergio, ben tornato.

Venendo al problema c'erano dei post che parlavano delle potenze, in particolare le relazioni tra basi ed esponenti (mi pare fosse stato gugo ?).

Io ecco non le ricordo queste proprietà, però mi chiedevo: $f(1/3)=- 2/3$ ?

[DajeForte]

"Sergio":[quote="DajeForte"]Venendo al problema c'erano dei post che parlavano delle potenze, in particolare le relazioni tra basi ed esponenti (mi pare fosse stato gugo ?).
Io ecco non le ricordo queste proprietà, però mi chiedevo: $f(1/3)=- 2/3$ ?

Sì, era stato gugo.
Per il resto, se \(f(x)=(x^2-1)^x\) direi che \(f(1/3)=(1/9-1)^{1/3}=(-8/9)^{1/3}=-2/\sqrt[3]{9}\).[/quote]
Vuao non so neanche fare i conti.

"Sergio":Non mi pare si possa considerare definita in un intervallo una funzione che potrebbe essere calcolata solo in pochissimi punti di quell'intervallo.

Infatti intendevo di definirla su numeri di questo tipo $ x=1/(2k+1)$

[ppg91]

Sergio credo che tu abbia colto proprio il punto, io avevo pensato al "mostro" perchè speravo di considerare tutti i casi possibili. Ma in effetti mi ero fermato proprio per quel motivo è molto difficile se non impossibile studiare una funzione per infiniti valori particolari come gli infiniti numeri dispari. Adesso la domanda sorge spontanea: nel campo di esistenza considereremo infiniti valori in meno per cui la funzione potrebbe essere definita? Quindi è uno studio approssimativo della funzione?

[ppg91]

Ok, allora grazie. Andrò a chiedere direttamente al mio prof. di analisi (che è quello che ha scritto l'esercizio) per sapere cosa e come lo voleva svolto in quel compito quest'esercizio!